Упр.946 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

log4x — log2y=0,
x2-5y2+4=0;
2) система
x2+y4=16,
log2x + 2log2y=3.

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} \log_4 x-\log_2 y=0,\\ x^2-5y^2+4=0. \end{cases} $$
Преобразуем первое уравнение:
$$ \log_4 x=\log_2 y,\qquad \log_4 x=\frac{1}{2}\log_2 x. $$
Тогда
$$ \frac{1}{2}\log_2 x-\log_2 y=0 \quad\Rightarrow\quad \log_2 x=2\log_2 y=\log_2 y^2. $$
Следовательно,
$$ x=y^2. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ (y^2)^2-5y^2+4=0. $$
Обозначим $$t=y^2$$, тогда
$$ t^2-5t+4=0, \qquad (t-1)(t-4)=0. $$
Отсюда $$t=1$$ или $$t=4$$, то есть
$$ y^2=1 \Rightarrow y=\pm 1,\qquad y^2=4 \Rightarrow y=\pm 2. $$
С учётом области определения логарифмов $$x>0,\ y>0$$ получаем:
$$ (x,y)=(1,1),\ (4,2). $$
Решим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^4=16,\\ \log_2 x+2\log_2 y=3. \end{cases} $$
Преобразуем второе уравнение:
$$ \log_2 x+2\log_2 y=\log_2 x+\log_2 y^2=\log_2(xy^2)=3. $$
Значит,
$$ xy^2=8,\qquad x=\frac{8}{y^2}. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ \left(\frac{8}{y^2}\right)^2+y^4=16. $$
Умножим на $$y^4$$:
$$ 64+y^8=16y^4. $$
Положим $$t=y^4$$, тогда
$$ t^2-16t+64=0, \qquad (t-8)^2=0. $$
Следовательно, $$t=8$$, то есть
$$ y^4=8,\qquad y=\sqrt[4]{8}. $$
Тогда
$$ x=\frac{8}{y^2}=\frac{8}{\sqrt{8}}=\sqrt{8}. $$
С учётом области определения $$x>0,\ y>0$$ получаем единственное решение.