Упр.946 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\log_4 x-\log_2 y=0,\\x^2-5y^2+4=0;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}x^2+y^4=16,\\\log_2 x+2\log_2 y=3.\end{cases}$$

1. Решим систему

   $$\begin{cases} \log_4 x-\log_2 y=0,\\ x^2-5y^2+4=0. \end{cases}$$

   Преобразуем первое уравнение:

   $$\log_4 x=\log_2 y,\qquad \log_4 x=\frac{1}{2}\log_2 x.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{2}\log_2 x-\log_2 y=0 \quad\Rightarrow\quad \log_2 x=2\log_2 y=\log_2 y^2.$$

   Следовательно,

   $$x=y^2.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$(y^2)^2-5y^2+4=0.$$

   Обозначим $$t=y^2$$, тогда

   $$t^2-5t+4=0, \qquad (t-1)(t-4)=0.$$

   Отсюда $$t=1$$ или $$t=4$$, то есть

   $$y^2=1 \Rightarrow y=\pm 1,\qquad y^2=4 \Rightarrow y=\pm 2.$$

   С учётом области определения логарифмов $$x>0,\ y>0$$ получаем:

   $$(x,y)=(1,1),\ (4,2).$$

2. Решим систему

   $$\begin{cases} x^2+y^4=16,\\ \log_2 x+2\log_2 y=3. \end{cases}$$

   Преобразуем второе уравнение:

   $$\log_2 x+2\log_2 y=\log_2 x+\log_2 y^2=\log_2(xy^2)=3.$$

   Значит,

   $$xy^2=8,\qquad x=\frac{8}{y^2}.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\left(\frac{8}{y^2}\right)^2+y^4=16.$$

   Умножим на $$y^4$$:

   $$64+y^8=16y^4.$$

   Положим $$t=y^4$$, тогда

   $$t^2-16t+64=0, \qquad (t-8)^2=0.$$

   Следовательно, $$t=8$$, то есть

   $$y^4=8,\qquad y=\sqrt[4]{8}.$$

   Тогда

   $$x=\frac{8}{y^2}=\frac{8}{\sqrt{8}}=\sqrt{8}.$$

   С учётом области определения $$x>0,\ y>0$$ получаем единственное решение.

Ответ

1) $$(1;1),\ (4;2)$$; 2) $$(\sqrt{8};\sqrt[4]{8})$$.