Упр.945 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

945 1) система
2x+y=32,
3^3y-x=27;
2) система
3x-2*2y=77,
3x/2-2y=7;
3) система
3x*2y=576,
log корень 2 (y-x)=4;
4) система
lgx+lgy=4,
xlgy=1000.

1. $$\begin{cases} 2^{x+y}=32,\\ 3^{3y-x}=27 \end{cases}$$
   Тогда
   $$2^{x+y}=2^5 \Rightarrow x+y=5,$$
   $$3^{3y-x}=3^3 \Rightarrow 3y-x=3.$$
   Решим систему:
   $$\begin{cases} x+y=5,\\ 3y-x=3 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$4y=8 \Rightarrow y=2,$$
   $$x=5-2=3.$$

   Ответ: $$(3;\,2).$$

2. $$\begin{cases} 3^x-2\cdot 2^y=77,\\ 3^{x/2}-2^y=7 \end{cases}$$
   Обозначим $$t=2^y.$$ Тогда из второго уравнения:
   $$3^{x/2}=t+7.$$
   Возведём в квадрат:
   $$3^x=(t+7)^2=t^2+14t+49.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$t^2+14t+49-2t=77,$$
   $$t^2+12t-28=0.$$
   $$D=12^2+4\cdot 28=256,$$
   $$t=\frac{-12\pm 16}{2}.$$
   Получаем $$t=2$$ или $$t=-14.$$ Так как $$t=2^y>0,$$ то
   $$2^y=2 \Rightarrow y=1.$$
   Тогда
   $$3^{x/2}=2+7=9,$$
   $$3^{x/2}=3^2 \Rightarrow x/2=2 \Rightarrow x=4.$$

   Ответ: $$(4;\,1).$$

3. $$\begin{cases} 3^x\cdot 2^y=576,\\ \log_{\sqrt{2}}(y-x)=4 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y-x=(\sqrt{2})^4=4,$$
   значит
   $$y=x+4.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$3^x\cdot 2^{x+4}=576,$$
   $$3^x\cdot 2^x\cdot 16=576,$$
   $$(6)^x=36=6^2.$$
   Следовательно,
   $$x=2,\qquad y=2+4=6.$$

   Ответ: $$(2;\,6).$$

4. $$\begin{cases} \lg x+\lg y=4,\\ x^{\lg y}=1000 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$\lg(xy)=4 \Rightarrow xy=10^4.$$
   Тогда
   $$y=\frac{10^4}{x}.$$
   Во втором уравнении:
   $$x^{\lg y}=1000=10^3.$$
   Пусть $$a=\lg x,$$ тогда $$\lg y=4-a.$$ Получаем
   $$x^{\lg y}=10^{a(4-a)}=10^3,$$
   значит
   $$a(4-a)=3,$$
   $$a^2-4a+3=0,$$
   $$a=1 \text{ или } a=3.$$
   Если $$\lg x=1,$$ то $$x=10,$$ и
   $$y=\frac{10^4}{10}=10^3=1000.$$
   Если $$\lg x=3,$$ то $$x=1000,$$ и
   $$y=\frac{10^4}{1000}=10.$$

   Ответ: $$(10;\,1000),\ (1000;\,10).$$