Упр.944 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

x/y+x4y=1/xy2+x2,
1/x+x2y2+4y2=0;
2) система
x+1/x3y3=x3y+1/xy2,
1/x+x3y3+10y2=0.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} \dfrac{x}{y}+x^4y=\dfrac{1}{xy^2}+x^2,\\ \dfrac{1}{x}+x^2y^2+4y^2=0. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ \dfrac{1}{x}+x^2y^2+4y^2=0 \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{x}+y^2(x^2+4)=0. $$
Умножим первое уравнение на $$xy^2$$:
$$ x^2y+x^5y^3=1+x^3y^2. $$
Из второго уравнения выразим $$1/x$$ и подставим в преобразованное первое уравнение. Удобнее заметить, что из системы получается
$$ x^2y=1, $$
откуда
$$ y=\dfrac{1}{x^2}. $$
Подставим в второе уравнение:
$$ \dfrac{1}{x}+x^2\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2=0, $$
$$ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4}{x^4}=0. $$
Умножим на $$x^4$$:
$$ x^3+x^2+4=0. $$
Разложим на множители:
$$ x^3+x^2+4=(x+2)(x^2-x+2)=0. $$
Действительный корень только один:
$$ x=-2. $$
Тогда
$$ y=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac14. $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x+\dfrac{1}{x^3y^3}=x^3y+\dfrac{1}{xy^2},\\ \dfrac{1}{x}+x^3y^3+10y^2=0. \end{cases} $$
Первое уравнение умножим на $$x^3y^3$$:
$$ x^4y^3+1=x^6y^4+x^2y. $$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$ x^4y^3+1-x^6y^4-x^2y=0, $$
$$ x^4y^3(1-x^2y)+(1-x^2y)=0, $$
$$ (x^4y^3+1)(1-x^2y)=0. $$
Отсюда возможны два случая:
$$ x^4y^3+1=0 \quad \text{или} \quad 1-x^2y=0. $$
1) Если $$x^4y^3+1=0$$, то $$y=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$$. Подстановка во второе уравнение даёт противоречие, значит этот случай не подходит.
2) Если $$1-x^2y=0$$, то
$$ y=\dfrac{1}{x^2}. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ \dfrac{1}{x}+x^3\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^3+10\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2=0, $$
$$ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{10}{x^4}=0. $$
Умножим на $$x^4$$:
$$ x^3+x+10=0. $$
Разложим на множители:
$$ x^3+x+10=(x+2)(x^2-2x+5)=0. $$
Действительный корень:
$$ x=-2. $$
Тогда
$$ y=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac14. $$