Упр.944 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$\begin{cases}\dfrac{x}{y}+x^4y=\dfrac{1}{xy^2}+x^2,\\[4pt]\dfrac{1}{x}+x^2y^2+4y^2=0.\end{cases}$$
- $$\begin{cases}x+\dfrac{1}{x^3y^3}=x^3y+\dfrac{1}{xy^2},\\[4pt]\dfrac{1}{x}+x^3y^3+10y^2=0.\end{cases}$$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \dfrac{x}{y}+x^4y=\dfrac{1}{xy^2}+x^2,\\ \dfrac{1}{x}+x^2y^2+4y^2=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$\dfrac{1}{x}+x^2y^2+4y^2=0 \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{x}+y^2(x^2+4)=0.$$
Умножим первое уравнение на $$xy^2$$:
$$x^2y+x^5y^3=1+x^3y^2.$$
Из второго уравнения выразим $$1/x$$ и подставим в преобразованное первое уравнение. Удобнее заметить, что из системы получается
$$x^2y=1,$$
откуда
$$y=\dfrac{1}{x^2}.$$
Подставим в второе уравнение:
$$\dfrac{1}{x}+x^2\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2=0,$$
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4}{x^4}=0.$$
Умножим на $$x^4$$:
$$x^3+x^2+4=0.$$
Разложим на множители:
$$x^3+x^2+4=(x+2)(x^2-x+2)=0.$$
Действительный корень только один:
$$x=-2.$$
Тогда
$$y=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac14.$$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x+\dfrac{1}{x^3y^3}=x^3y+\dfrac{1}{xy^2},\\ \dfrac{1}{x}+x^3y^3+10y^2=0. \end{cases}$$
Первое уравнение умножим на $$x^3y^3$$:
$$x^4y^3+1=x^6y^4+x^2y.$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$x^4y^3+1-x^6y^4-x^2y=0,$$
$$x^4y^3(1-x^2y)+(1-x^2y)=0,$$
$$(x^4y^3+1)(1-x^2y)=0.$$
Отсюда возможны два случая:
$$x^4y^3+1=0 \quad \text{или} \quad 1-x^2y=0.$$
1) Если $$x^4y^3+1=0$$, то $$y=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$$. Подстановка во второе уравнение даёт противоречие, значит этот случай не подходит.
2) Если $$1-x^2y=0$$, то
$$y=\dfrac{1}{x^2}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\dfrac{1}{x}+x^3\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^3+10\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2=0,$$
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{10}{x^4}=0.$$
Умножим на $$x^4$$:
$$x^3+x+10=0.$$
Разложим на множители:
$$x^3+x+10=(x+2)(x^2-2x+5)=0.$$
Действительный корень:
$$x=-2.$$
Тогда
$$y=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac14.$$
Ответ
1) $$(-2;\,\dfrac14)$$; 2) $$(-2;\,\dfrac14)$$.
