Упр.943 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\frac{x^4}{y^2}+xy=72,\\[4pt]\frac{y^4}{x^2}+xy=9;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}\frac{x^3}{2y}+3xy=25,\\[4pt]\frac{y^3}{x}-2xy=16.\end{cases}$$

1. Решим первую систему:

   $$\begin{cases} \dfrac{x^4}{y^2}+xy=72,\\ \dfrac{y^4}{x^2}+xy=9. \end{cases}$$

   Так как в знаменателях стоят $$x^2$$ и $$y^2$$, то $$x \ne 0$$, $$y \ne 0$$.

   Разделим первое уравнение на второе:

   $$\frac{\dfrac{x^4}{y^2}+xy}{\dfrac{y^4}{x^2}+xy}=\frac{72}{9}=8.$$

   Удобно переписать уравнения так:

   $$\frac{x^4+xy^3}{y^2}=72,\qquad \frac{y^4+x^3y}{x^2}=9.$$

   Тогда

   $$\frac{x^4+xy^3}{y^2}:\frac{y^4+x^3y}{x^2}=8,$$

   откуда

   $$\frac{x(x^3+y^3)}{y(y^3+x^3)}\cdot \frac{x^2}{y^2}=8 \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{x}{y}\right)^3=8.$$

   Следовательно,

   $$\frac{x}{y}=2,\qquad x=2y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{y^4}{(2y)^2}+2y\cdot y=9,$$

   $$\frac{y^2}{4}+2y^2=9,$$

   $$\frac{9y^2}{4}=9,\qquad y^2=4.$$

   Тогда $$y=\pm 2$$, а значит $$x=2y=\pm 4$$.

2. Решим вторую систему:

   $$\begin{cases} \dfrac{x^3}{2y}+3xy=25,\\ \dfrac{y^3}{x}-2xy=16. \end{cases}$$

   Так как в знаменателях стоят $$x$$ и $$y$$, то $$x \ne 0$$, $$y \ne 0$$.

   Обозначим $$t=xy$$. Тогда

   $$\frac{x^3}{2y}=25-3xy=25-3t,\qquad \frac{y^3}{x}=16+2xy=16+2t.$$

   Перемножим эти равенства:

   $$\frac{x^3}{2y}\cdot \frac{y^3}{x}=(25-3t)(16+2t).$$

   Левая часть равна

   $$\frac{x^2y^2}{2}=\frac{t^2}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{t^2}{2}=(25-3t)(16+2t).$$

   Раскроем скобки:

   $$\frac{t^2}{2}=400+50t-48t-6t^2,$$

   $$13t^2-4t-800=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-4)^2-4\cdot 13\cdot(-800)=41616,$$

   $$t_{1,2}=\frac{4\pm 204}{26}.$$

   Получаем

   $$t_1=8,\qquad t_2=-\frac{100}{13}.$$

   1) Если $$xy=8$$, то из первого уравнения

   $$\frac{x^3}{2y}+24=25,\qquad \frac{x^3}{2y}=1.$$

   Так как $$y=\dfrac{8}{x}$$, имеем

   $$\frac{x^3}{2\cdot 8/x}=1,\qquad \frac{x^4}{16}=1,\qquad x^4=16.$$

   Отсюда $$x=\pm 2$$, тогда $$y=\pm 4$$ с тем же знаком.

   Получаем пары:

   $$(-2,-4),\ (2,4).$$

   2) Если $$xy=-\dfrac{100}{13}$$, то подстановка в первое уравнение приводит к противоречию, поэтому этот случай не даёт решений.

Ответ

1) $$(-4,-2),\ (4,2).$$ 2) $$(-2,-4),\ (2,4).$$