Упр.943 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

x4/y2+xy=72,
y4/x2+xy=9;
2) система
x3/2y+3xy=25,
y3/x-2xy=16.

Подробный ответ

Решим первую систему:
$$ \begin{cases} \dfrac{x^4}{y^2}+xy=72,\\ \dfrac{y^4}{x^2}+xy=9. \end{cases} $$
Так как в знаменателях стоят $x^2$ и $y^2$, то $x \ne 0$, $y \ne 0$.
Разделим первое уравнение на второе:
$$ \frac{\dfrac{x^4}{y^2}+xy}{\dfrac{y^4}{x^2}+xy}=\frac{72}{9}=8. $$
Удобно переписать уравнения так:
$$ \frac{x^4+xy^3}{y^2}=72,\qquad \frac{y^4+x^3y}{x^2}=9. $$
Тогда
$$ \frac{x^4+xy^3}{y^2}:\frac{y^4+x^3y}{x^2}=8, $$
откуда
$$ \frac{x(x^3+y^3)}{y(y^3+x^3)}\cdot \frac{x^2}{y^2}=8 \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{x}{y}\right)^3=8. $$
Следовательно,
$$ \frac{x}{y}=2,\qquad x=2y. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ \frac{y^4}{(2y)^2}+2y\cdot y=9, $$
$$ \frac{y^2}{4}+2y^2=9, $$
$$ \frac{9y^2}{4}=9,\qquad y^2=4. $$
Тогда $y=\pm 2$, а значит $x=2y=\pm 4$.
Решим вторую систему:
$$ \begin{cases} \dfrac{x^3}{2y}+3xy=25,\\ \dfrac{y^3}{x}-2xy=16. \end{cases} $$
Так как в знаменателях стоят $x$ и $y$, то $x \ne 0$, $y \ne 0$.
Обозначим $t=xy$. Тогда
$$ \frac{x^3}{2y}=25-3xy=25-3t,\qquad \frac{y^3}{x}=16+2xy=16+2t. $$
Перемножим эти равенства:
$$ \frac{x^3}{2y}\cdot \frac{y^3}{x}=(25-3t)(16+2t). $$
Левая часть равна
$$ \frac{x^2y^2}{2}=\frac{t^2}{2}. $$
Тогда
$$ \frac{t^2}{2}=(25-3t)(16+2t). $$
Раскроем скобки:
$$ \frac{t^2}{2}=400+50t-48t-6t^2, $$
$$ 13t^2-4t-800=0. $$
Найдём корни:
$$ D=(-4)^2-4\cdot 13\cdot(-800)=41616, $$
$$ t_{1,2}=\frac{4\pm 204}{26}. $$
Получаем
$$ t_1=8,\qquad t_2=-\frac{100}{13}. $$
1) Если $xy=8$, то из первого уравнения
$$ \frac{x^3}{2y}+24=25,\qquad \frac{x^3}{2y}=1. $$
Так как $y=\dfrac{8}{x}$, имеем
$$ \frac{x^3}{2\cdot 8/x}=1,\qquad \frac{x^4}{16}=1,\qquad x^4=16. $$
Отсюда $x=\pm 2$, тогда $y=\pm 4$ с тем же знаком.
Получаем пары:
$$ (-2,-4),\ (2,4). $$
2) Если $xy=-\dfrac{100}{13}$, то подстановка в первое уравнение приводит к противоречию, поэтому этот случай не даёт решений.