Упр.942 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

x/y-y/x-3/2,
x2+y2=20;
2) система
y/x + x/y=3*1/3,
x2-y2=8;
3) система
x2=13x+4y,
y2=4x+13y;
4) система
3×2+y2-4x=40,
2×2+y2+3x=52.

Подробный ответ

Пусть $$z=\frac{x}{y}$$. Тогда из первого уравнения получаем
$$z-\frac{1}{z}=\frac{3}{2}.$$
Умножим на $$2z$$:
$$2z^2-2=3z,$$
$$2z^2-3z-2=0.$$
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25,$$
$$z_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad z_2=\frac{3+5}{4}=2.$$
1) При $$\frac{x}{y}=-\frac12$$:
$$x=-\frac12 y,$$
$$\left(-\frac12 y\right)^2+y^2=20,$$
$$\frac14 y^2+y^2=20,$$
$$\frac54 y^2=20,$$
$$y^2=16,\qquad y=\pm 4.$$
Тогда $$x=-\frac12 y$$, значит
$$(-2;4),\ (2;-4).$$
2) При $$\frac{x}{y}=2$$:
$$x=2y,$$
$$\left(2y\right)^2+y^2=20,$$
$$4y^2+y^2=20,$$
$$5y^2=20,$$
$$y^2=4,\qquad y=\pm 2.$$
Тогда $$x=2y$$, значит
$$ (4;2),\ (-4;-2). $$
Пусть $$z=\frac{x}{y}$$. Тогда
$$z+\frac{1}{z}=3\frac13=\frac{10}{3}.$$
Умножим на $$3z$$:
$$3z^2+3=10z,$$
$$3z^2-10z+3=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$
$$z_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad z_2=\frac{10+8}{6}=3.$$
1) При $$\frac{x}{y}=\frac13$$:
$$x=\frac13 y,$$
$$x^2-y^2=8.$$
Подставим $$x=\frac13 y$$:
$$\frac19 y^2-y^2=8,$$
$$-\frac89 y^2=8,$$
$$y^2=-9.$$
Действительных решений нет.
2) При $$\frac{x}{y}=3$$:
$$x=3y,$$
$$9y^2-y^2=8,$$
$$8y^2=8,$$
$$y^2=1,\qquad y=\pm 1.$$
Тогда $$x=3y$$, значит
$$ (3;1),\ (-3;-1). $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$x^2-9x+4y-4x-y^2-13y=0,$$
или
$$x^2-13x+y^2-13y=0.$$
Перепишем систему в виде
$$ \begin{cases} x^2-13x= -4y,\\ y^2-13y= -4x. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$x^2+y^2-13(x+y)= -4(x+y),$$
$$x^2+y^2-9(x+y)=0.$$
Из исходной системы видно, что подходит замена $$x=y$$ или $$x+y=0$$. Проверим:
Если $$x=y$$, то
$$x^2=13x+4x,$$
$$x^2=17x,$$
$$x(x-17)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=17$$. Тогда $$y=x$$, получаем точки $$ (0;0),\ (17;17). $$
Если $$x+y=0$$, то $$y=-x$$. Подставим:
$$x^2=13x-4x=9x,$$
$$x(x-9)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=9.$$
При $$x=0$$ получаем уже найденную точку $$ (0;0). $$
При $$x=9$$ имеем $$y=-9$$, но проверка показывает, что это не подходит. Значит, остаются только найденные решения.
Вычтем второе уравнение из первого:
$$3x^2+y^2-4x-\left(2x^2+y^2+3x\right)=40-52,$$
$$x^2-7x=-12,$$
$$x^2-7x+12=0,$$
$$\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0,$$
$$x=3 \text{ или } x=4.$$
Подставим в первое уравнение.
Если $$x=3$$, то
$$3\cdot 3^2+y^2-4\cdot 3=40,$$
$$27+y^2-12=40,$$
$$y^2=25,$$
$$y=\pm 5.$$
Если $$x=4$$, то
$$3\cdot 4^2+y^2-4\cdot 4=40,$$
$$48+y^2-16=40,$$
$$y^2=8,$$
$$y=\pm 2\sqrt2.$$