Упр.942 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{3}{2}\\x^2+y^2=20\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=3\cdot\frac{1}{3}\\x^2-y^2=8\end{cases}$$
3. $$\begin{cases}x^2=13x+4y\\y^2=4x+13y\end{cases}$$
4. $$\begin{cases}3x^2+y^2-4x=40\\2x^2+y^2+3x=52\end{cases}$$

1. Пусть $$z=\frac{x}{y}$$. Тогда из первого уравнения получаем

   $$z-\frac{1}{z}=\frac{3}{2}.$$

   Умножим на $$2z$$:

   $$2z^2-2=3z,$$

   $$2z^2-3z-2=0.$$

   $$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25,$$

   $$z_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad z_2=\frac{3+5}{4}=2.$$

   1) При $$\frac{x}{y}=-\frac12$$:

   $$x=-\frac12 y,$$

   $$\left(-\frac12 y\right)^2+y^2=20,$$

   $$\frac14 y^2+y^2=20,$$

   $$\frac54 y^2=20,$$

   $$y^2=16,\qquad y=\pm 4.$$

   Тогда $$x=-\frac12 y$$, значит

   $$(-2;4),\ (2;-4).$$

   2) При $$\frac{x}{y}=2$$:

   $$x=2y,$$

   $$\left(2y\right)^2+y^2=20,$$

   $$4y^2+y^2=20,$$

   $$5y^2=20,$$

   $$y^2=4,\qquad y=\pm 2.$$

   Тогда $$x=2y$$, значит

   $$(4;2),\ (-4;-2).$$

2. Пусть $$z=\frac{x}{y}$$. Тогда

   $$z+\frac{1}{z}=3\frac13=\frac{10}{3}.$$

   Умножим на $$3z$$:

   $$3z^2+3=10z,$$

   $$3z^2-10z+3=0.$$

   $$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

   $$z_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad z_2=\frac{10+8}{6}=3.$$

   1) При $$\frac{x}{y}=\frac13$$:

   $$x=\frac13 y,$$

   $$x^2-y^2=8.$$

   Подставим $$x=\frac13 y$$:

   $$\frac19 y^2-y^2=8,$$

   $$-\frac89 y^2=8,$$

   $$y^2=-9.$$

   Действительных решений нет.

   2) При $$\frac{x}{y}=3$$:

   $$x=3y,$$

   $$9y^2-y^2=8,$$

   $$8y^2=8,$$

   $$y^2=1,\qquad y=\pm 1.$$

   Тогда $$x=3y$$, значит

   $$(3;1),\ (-3;-1).$$

3. Вычтем второе уравнение из первого:

   $$x^2-9x+4y-4x-y^2-13y=0,$$

   или

   $$x^2-13x+y^2-13y=0.$$

   Перепишем систему в виде

   $$\begin{cases} x^2-13x= -4y,\\ y^2-13y= -4x. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$x^2+y^2-13(x+y)= -4(x+y),$$

   $$x^2+y^2-9(x+y)=0.$$

   Из исходной системы видно, что подходит замена $$x=y$$ или $$x+y=0$$. Проверим:

   Если $$x=y$$, то

   $$x^2=13x+4x,$$

   $$x^2=17x,$$

   $$x(x-17)=0,$$

   откуда $$x=0$$ или $$x=17$$. Тогда $$y=x$$, получаем точки $$(0;0),\ (17;17).$$

   Если $$x+y=0$$, то $$y=-x$$. Подставим:

   $$x^2=13x-4x=9x,$$

   $$x(x-9)=0,$$

   откуда $$x=0$$ или $$x=9.$$

   При $$x=0$$ получаем уже найденную точку $$(0;0).$$

   При $$x=9$$ имеем $$y=-9$$, но проверка показывает, что это не подходит. Значит, остаются только найденные решения.

4. Вычтем второе уравнение из первого:

   $$3x^2+y^2-4x-\left(2x^2+y^2+3x\right)=40-52,$$

   $$x^2-7x=-12,$$

   $$x^2-7x+12=0,$$

   $$\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0,$$

   $$x=3 \text{ или } x=4.$$

   Подставим в первое уравнение.

   Если $$x=3$$, то

   $$3\cdot 3^2+y^2-4\cdot 3=40,$$

   $$27+y^2-12=40,$$

   $$y^2=25,$$

   $$y=\pm 5.$$

   Если $$x=4$$, то

   $$3\cdot 4^2+y^2-4\cdot 4=40,$$

   $$48+y^2-16=40,$$

   $$y^2=8,$$

   $$y=\pm 2\sqrt2.$$

Ответ

1) $$(-2;4),\ (2;-4),\ (4;2),\ (-4;-2)$$

2) $$(3;1),\ (-3;-1)$$

3) $$(0;0),\ (17;17)$$

4) $$(3;5),\ (3;-5),\ (4;2\sqrt2),\ (4;-2\sqrt2)$$