Упр.940 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

940. Найти действительные решения системы уравнений:
     
     1) $$\begin{cases} y+5=x^2,\\ x^2+y^2=25; \end{cases}$$
     
     2) $$\begin{cases} xy=16,\\ \frac{x}{y}=4; \end{cases}$$
     
     3) $$\begin{cases} x^2+2y^2=96,\\ x=2y. \end{cases}$$

1. $$\begin{cases} y+5=x^2,\\ x^2+y^2=25 \end{cases}$$

   Из первого уравнения получаем $$y=x^2-5.$$ Подставим во второе:

   $$x^2+(x^2-5)^2=25$$
   $$x^2+x^4-10x^2+25=25$$
   $$x^4-9x^2=0$$
   $$x^2(x^2-9)=0$$
   $$x^2(x-3)(x+3)=0.$$

   Тогда $$x=0$$ или $$x=3$$, или $$x=-3$$.

   Найдём соответствующие значения $$y$$:

   при $$x=0$$: $$y=0^2-5=-5$$;
   при $$x=3$$: $$y=3^2-5=4$$;
   при $$x=-3$$: $$y=(-3)^2-5=4$$.

2. $$\begin{cases} xy=16,\\ \dfrac{x}{y}=4 \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$x=4y$$. Подставим в первое:

   $$4y^2=16$$
   $$y^2=4$$
   $$y=\pm 2.$$

   Тогда

   при $$y=2$$: $$x=4\cdot 2=8$$;
   при $$y=-2$$: $$x=4\cdot(-2)=-8$$.

3. $$\begin{cases} x^2+2y^2=96,\\ x=2y \end{cases}$$

   Подставим $$x=2y$$ в первое уравнение:

   $$(2y)^2+2y^2=96$$
   $$4y^2+2y^2=96$$
   $$6y^2=96$$
   $$y^2=16$$
   $$y=\pm 4.$$

   Тогда

   при $$y=4$$: $$x=2\cdot 4=8$$;
   при $$y=-4$$: $$x=2\cdot(-4)=-8$$.

Ответ

1) $$(-3;4),\ (0;-5),\ (3;4)$$;
2) $$(-8;-2),\ (8;2)$$;
3) $$(-8;-4),\ (8;4)$$.