Упр.94 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) tg2x < 1;
2)tg2x > =3;
3) 3sin2x + sin xcosx > 2.
$$\tg^2 x<1$$
$$\tg^2 x-1<0$$
$$\left(\tg x-1\right)\left(\tg x+1\right)<0$$
Отсюда
$$-1<\tg x<1.$$
Тогда
$$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\tg^2 x\ge 3$$
$$\tg^2 x-3\ge 0$$
$$\left(\tg x-\sqrt3\right)\left(\tg x+\sqrt3\right)\ge 0$$
Следовательно,
$$\tg x\le -\sqrt3 \quad \text{или} \quad \tg x\ge \sqrt3.$$
Значит,
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
или
$$\frac{\pi}{3}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x>2$$
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x>2\sin^2 x+2\cos^2 x$$
$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x>0$$
При $$\cos x\ne 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+\tg x-2>0$$
$$\left(\tg x+2\right)\left(\tg x-1\right)>0$$
Отсюда
$$\tg x<-2 \quad \text{или} \quad \tg x>1.$$
Тогда
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
или
$$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Кроме того, при $$\cos x=0$$ имеем $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, и это также удовлетворяет неравенству.
Значит, решение можно записать так:
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
или
$$\frac{\pi}{4}+\pi n<x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad \frac{\pi}{3}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 2+\pi n,\quad \frac{\pi}{4}+\pi n<x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
