Упр.937 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) 2a2 + b2 + c2 > 2a(b + c).

1. Пусть $$x=\frac{a}{b},\ y=\frac{b}{c},\ z=\frac{c}{a}.$$ Тогда при $$a>0,\ b>0,\ c>0$$ имеем $$x>0,\ y>0,\ z>0$$ и

   $$xyz=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=1.$$

   По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

   $$\frac{x+y+z}{3}\ge \sqrt[3]{xyz}=1.$$

   Следовательно,

   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3.$$

2. Преобразуем левую часть:

   $$2a^2+b^2+c^2-2a(b+c)=2a^2-2ab-2ac+b^2+c^2.$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$2a^2-2ab-2ac+b^2+c^2=(a-b)^2+(a-c)^2\ge 0.$$

   Значит,

   $$2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c).$$

Ответ

1) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3$$ при $$a>0,\ b>0,\ c>0$$; 2) $$2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c).$$