Упр.936 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) a4 + 6a2b2 + b4 > 4ab(a2 + b2), если a=/b.

1. Положим $$y=ab$$. Тогда

   $$ (a+b)(ab+1)\ge 4ab $$

   равносильно

   $$ \left(\frac{y}{b}+b\right)(y+1)\ge 4y. $$

   После преобразований получаем

   $$ \frac{y^2}{b}+\frac{y}{b}+by+b-4y\ge 0, $$

   $$ \frac{y^2+y+b^2y+b^2-4by}{b}\ge 0, $$

   $$ \frac{(y-b)^2+y(1-b)^2}{b}\ge 0. $$

   Так как $$b>0$$, а $$ (y-b)^2\ge 0 $$ и $$ y(1-b)^2\ge 0 $$, то левая часть неотрицательна. Следовательно, неравенство доказано.

2. Преобразуем левую часть:

   $$ a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2) $$

   $$ =(a^4+2a^2b^2+b^4)+4a^2b^2-4ab(a^2+b^2) $$

   $$ =(a^2+b^2)^2-4ab(a^2+b^2)+4a^2b^2 $$

   $$ =(a^2+b^2-2ab)^2 $$

   $$ =(a-b)^4. $$

   Так как $$a\ne b$$, то $$ (a-b)^4>0 $$, значит

   $$ a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2). $$

Ответ

1) Неравенство доказано. 2) Неравенство доказано.