Упр.935 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

935 1) ab < =a2+b2/2; 2) a3+b3/2 > (a+b/2)3, если a > 0, b > 0, a=/b.

1. Докажем неравенство

   $$ab \le \frac{a^2+b^2}{2}.$$

   Умножим обе части на $$2$$:

   $$2ab \le a^2+b^2.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$a^2-2ab+b^2 \ge 0.$$

   Получаем

   $$\left(a-b\right)^2 \ge 0.$$

   Это верно при любых действительных $$a$$ и $$b$$. Неравенство доказано.

2. Докажем неравенство

   $$\frac{a^3+b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3,$$

   если $$a>0$$, $$b>0$$, $$a\ne b$$.

   Умножим обе части на $$8$$:

   $$4a^3+4b^3>(a+b)^3.$$

   Раскроем скобки:

   $$4a^3+4b^3>a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3>0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$3(a^3-a^2b-ab^2+b^3)>0,$$

   $$3(a-b)(a^2-b^2)>0,$$

   $$3(a-b)^2(a+b)>0.$$

   Так как $$a>0$$, $$b>0$$, то $$a+b>0$$, а при $$a\ne b$$ имеем $$\left(a-b\right)^2>0$$. Следовательно, левая часть положительна, и неравенство доказано.

Ответ

1) $$ab \le \frac{a^2+b^2}{2}$$; 2) $$\frac{a^3+b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3$$ при $$a>0$$, $$b>0$$, $$a\ne b$$.