Упр.934 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 934 корень 4 степени 7-cos4x/2 > -2sinx.

Преобразуем неравенство:

$$\sqrt[4]{\frac{7-\cos 4x}{2}}>-2\sin x.$$

Так как $$\sqrt[4]{\frac{7-\cos 4x}{2}}\ge 0,$$ то при $$\sin x\le 0$$ правая часть не положительна, и неравенство выполняется автоматически.

Если же $$\sin x>0,$$ то можно возвести обе части в четвёртую степень:

$$\frac{7-\cos 4x}{2}>16\sin^4 x.$$

Используем формулу $$\cos 4x=1-8\sin^2 x+8\sin^4 x.$$ Тогда

$$\frac{7-(1-8\sin^2 x+8\sin^4 x)}{2}>16\sin^4 x,$$

$$\frac{6+8\sin^2 x-8\sin^4 x}{2}>16\sin^4 x,$$

$$3+4\sin^2 x-4\sin^4 x>16\sin^4 x,$$

$$20\sin^4 x-4\sin^2 x-3<0.$$

Обозначим $$t=\sin^2 x,$$ тогда

$$20t^2-4t-3<0.$$

Найдём корни:

$$D=(-4)^2-4\cdot 20\cdot(-3)=16+240=256,$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 16}{40}.$$

Отсюда

$$t_1=-\frac{3}{10},\qquad t_2=\frac{1}{2}.$$

Так как парабола направлена вверх, то

$$20t^2-4t-3<0 \quad \Longrightarrow \quad -\frac{3}{10}<t<\frac{1}{2}.$$

С учётом $$t=\sin^2 x\ge 0$$ получаем

$$\sin^2 x<\frac{1}{2},$$

то есть

$$-\frac{\sqrt2}{2}<\sin x<\frac{\sqrt2}{2}.$$

Совмещая это с условием $$\sin x\le 0$$, получаем

$$-\frac{\sqrt2}{2}<\sin x\le 0.$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,0+2\pi n\right]\cup\left[\pi+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,2\pi n\right]\cup\left[\pi+2\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$