Упр.933 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство $$\frac{\sqrt[4]{7-\cos 4x}}{2}>-2\cos x$$.

Преобразуем неравенство:

$$\sqrt[4]{\frac{7-\cos 4x}{2}}>-2\cos x.$$

Возведём обе части в четвёртую степень, учитывая, что левая часть неотрицательна:

$$\frac{7-\cos 4x}{2}>16\cos^4 x.$$

Используем формулу $$\cos 4x=8\cos^4 x-8\cos^2 x+1$$:

$$\frac{7-(8\cos^4 x-8\cos^2 x+1)}{2}>16\cos^4 x,$$

$$\frac{6-8\cos^4 x+8\cos^2 x}{2}>16\cos^4 x,$$

$$3-4\cos^4 x+4\cos^2 x>16\cos^4 x,$$

$$20\cos^4 x-4\cos^2 x-3<0.$$

Обозначим $$t=\cos^2 x$$, тогда получаем:

$$20t^2-4t-3<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-4)^2-4\cdot 20\cdot(-3)=16+240=256,$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 16}{40}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-\frac{3}{10}.$$

Так как парабола направлена вверх, то

$$-\frac{3}{10}<t<\frac12.$$

С учётом $$t=\cos^2 x\ge 0$$ получаем:

$$0\le \cos^2 x<\frac12,$$

то есть

$$|\cos x|<\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$-\frac{\sqrt2}{2}<\cos x<\frac{\sqrt2}{2}.$$

Это выполняется при

$$x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$