Упр.932 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. С помощью графиков тригонометрических функций найти все решения неравенства, заключённые в промежутке $$[-3\pi;\ \pi]$$: 1) $$2\cos x-\sqrt{3}<0$$; 2) $$\sqrt{2}\sin x+1\geq 0$$; 3) $$\sqrt{3}+\operatorname{tg}x\leq 0$$; 4) $$3\operatorname{tg}x-2>0$$.

1. $$2\cos x-\sqrt{3}<0$$

   $$2\cos x<\sqrt{3}$$

   $$\cos x<\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Граница: $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ при $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.

   На отрезке $$[-3\pi;\pi]$$ получаем:

   $$x\in\left[-3\pi;-\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{11\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\pi\right].$$

2. $$\sqrt{2}\sin x+1\ge 0$$

   $$\sin x\ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Граница: $$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ при $$x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$ и $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.

   На отрезке $$[-3\pi;\pi]$$:

   $$x\in\left[-3\pi;-\frac{11\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{9\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{4};\pi\right].$$

3. $$\sqrt{3}+\tg x\le 0$$

   $$\tg x\le -\sqrt{3}$$

   Граница: $$\tg x=-\sqrt{3}$$ при $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.

   С учётом периодичности и точек разрыва $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ на отрезке $$[-3\pi;\pi]$$ получаем:

   $$x\in\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{4\pi}{3}\right]\cup\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}\right].$$

4. $$3\tg x-2>0$$

   $$\tg x>\frac{2}{3}$$

   Граница: $$\tg x=\frac{2}{3}$$ при $$x=\arctg\frac{2}{3}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.

   Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, то

   $$x\in\left(\arctg\frac{2}{3}-3\pi;-\frac{5\pi}{2}\right)\cup\left(\arctg\frac{2}{3}-2\pi;-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\arctg\frac{2}{3}-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\arctg\frac{2}{3};\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ

1) $$\left[-3\pi;-\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{11\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\pi\right]$$;
2) $$\left[-3\pi;-\frac{11\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{9\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{4};\pi\right]$$;
3) $$\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{4\pi}{3}\right]\cup\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}\right]$$;
4) $$\left(\arctg\frac{2}{3}-3\pi;-\frac{5\pi}{2}\right)\cup\left(\arctg\frac{2}{3}-2\pi;-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\arctg\frac{2}{3}-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\arctg\frac{2}{3};\frac{\pi}{2}\right)$$.