Упр.931 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить графически неравенство:

1. $$\sin x < \frac{1}{4}$$;
2. $$\sin x > -\frac{1}{4}$$;
3. $$\operatorname{tg} x — 3 \leq 0$$;
4. $$\cos x > \frac{1}{3}$$.

1. $$\sin x<\frac14$$

   Рассмотрим точки пересечения графиков $$y=\sin x$$ и $$y=\frac14$$:

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На каждом периоде функция $$\sin x$$ меньше $$\frac14$$ вне промежутка между соседними точками пересечения, поэтому

   $$-\pi-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x>-\frac14$$

   Точки пересечения графиков $$y=\sin x$$ и $$y=-\frac14$$:

   $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда решение неравенства:

   $$-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x-3\le 0$$

   Получаем:

   $$\tg x\le 3.$$

   На каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$ функция $$\tg x$$ возрастает, поэтому

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos x>\frac13$$

   Точки пересечения графиков $$y=\cos x$$ и $$y=\frac13$$:

   $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\cos x$$ больше $$\frac13$$ между этими точками, то

   $$-\arccos\frac13+2\pi n<x<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\pi-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$;
2) $$-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$;
3) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$;
4) $$-\arccos\frac13+2\pi n<x<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$.