Упр.93 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$y=\operatorname{tg}\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$
- $$y=\operatorname{ctg}\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$
1) Построим график функции $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Преобразуем аргумент:
$$y=\tg\left(3\left(x-\frac{\pi}{12}\right)\right).$$
Это график функции $$y=\tg x,$$ сжатый по оси $$x$$ в 3 раза и сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{12}.$$
Период новой функции:
$$T=\frac{\pi}{3}.$$
Вертикальные асимптоты задаются уравнением
$$3x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{3}.$$
Нули функции:
$$3x-\frac{\pi}{4}=\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
то есть
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}.$$
2) Построим график функции $$y=\ctg\left(2x-\frac{\pi}{3}\right).$$
Преобразуем аргумент:
$$y=\ctg\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$
Это график функции $$y=\ctg x,$$ сжатый по оси $$x$$ в 2 раза и сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{6}.$$
Период новой функции:
$$T=\frac{\pi}{2}.$$
Вертикальные асимптоты:
$$2x-\frac{\pi}{3}=\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}.$$
Нули функции:
$$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
то есть
$$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}.$$
Ответ
$$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right):\quad T=\frac{\pi}{3},\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{3}\ \text{— асимптоты},\ x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}\ \text{— нули};$$
$$y=\ctg\left(2x-\frac{\pi}{3}\right):\quad T=\frac{\pi}{2},\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}\ \text{— асимптоты},\ x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\ \text{— нули},\ k\in\mathbb Z.$$
