Упр.929 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень 2×3-22×2+60x/x-6 > =2x-10.

Подробный ответ

$$\frac{\sqrt{3x^3-22x^2+40x}}{x-4}\ge 3x-10.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x>4$$. Тогда можно умножить неравенство на $$x-4>0$$:
$$\sqrt{3x^3-22x^2+40x}\ge (3x-10)(x-4).$$
Так как $$3x^3-22x^2+40x=x(3x^2-22x+40)=x(3x-10)(x-4),$$ получаем
$$\sqrt{x(3x-10)(x-4)}\ge (3x-10)(x-4).$$
После возведения в квадрат и упрощения:
$$x\ge 3x^2-22x+40,$$
$$3x^2-23x+40\le 0,$$
$$\left(3x-8\right)(x-5)\le 0.$$
Отсюда
$$\frac{8}{3}\le x\le 5.$$
С учётом условия $$x>4$$ получаем
$$4<x\le 5.$$
2) $$x<4$$. Тогда при умножении на $$x-4<0$$ знак неравенства меняется:
$$\sqrt{3x^3-22x^2+40x}\le (3x-10)(x-4).$$
Аналогично получаем
$$x\le 3x^2-22x+40,$$
$$3x^2-23x+40\ge 0,$$
$$\left(3x-8\right)(x-5)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le \frac{8}{3}\quad \text{или}\quad x\ge 5.$$
С учётом условия $$x<4$$ получаем
$$x\le \frac{8}{3}.$$
Теперь учтём область определения:
$$3x^3-22x^2+40x\ge 0,$$
$$x(x-4)(3x-10)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in \left[0,\frac{10}{3}\right]\cup [4,+\infty).$$
Пересечение с найденными промежутками даёт
$$x\in \left[0,\frac{8}{3}\right]\cup \left(4,5\right].$$
$$\frac{\sqrt{2x^3-22x^2+60x}}{x-6}\ge 2x-10.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x>6$$. Тогда
$$\sqrt{2x^3-22x^2+60x}\ge (2x-10)(x-6).$$
Так как $$2x^3-22x^2+60x=2x(x-5)(x-6),$$ получаем
$$\sqrt{2x(x-5)(x-6)}\ge (2x-10)(x-6).$$
После преобразований:
$$x\ge 2x^2-22x+60,$$
$$2x^2-23x+60\le 0,$$
$$\left(2x-15\right)(x-4)\le 0.$$
Отсюда
$$4\le x\le 7{,}5.$$
С учётом условия $$x>6$$ получаем
$$6<x\le 7{,}5.$$
2) $$x<6$$. Тогда
$$\sqrt{2x^3-22x^2+60x}\le (2x-10)(x-6).$$
Аналогично получаем
$$x\le 2x^2-22x+60,$$
$$2x^2-23x+60\ge 0,$$
$$\left(2x-15\right)(x-4)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le 4\quad \text{или}\quad x\ge 7{,}5.$$
С учётом условия $$x<6$$ получаем
$$x\le 4.$$
Теперь учтём область определения:
$$2x^3-22x^2+60x\ge 0,$$
$$x(x-5)(x-6)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in [0,5]\cup [6,+\infty).$$
Пересечение с найденными промежутками даёт
$$x\in [0,4]\cup \{5\}\cup (6,7{,}5].$$