Упр.928 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$13-3x+\sqrt{\frac{x^2-x-6}{5-x}}>1$$
2. $$7-3x+\sqrt{\frac{x^2+3x-4}{x-3}}<-1$$

1. $$\frac{13-3x+\sqrt{x^2-x-6}}{5-x}>1$$

   Перенесём $$1$$ в левую часть:
   $$\frac{13-3x+\sqrt{x^2-x-6}-(5-x)}{5-x}>0$$
   $$\frac{\sqrt{x^2-x-6}-2x+8}{5-x}>0$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$x<5$$. Тогда $$5-x>0$$, и нужно:
   $$\sqrt{x^2-x-6}-2x+8>0$$
   $$\sqrt{x^2-x-6}>2x-8$$

   Если $$2x-8<0$$, то есть $$x<4$$, неравенство выполняется при условии области определения:
   $$x^2-x-6\ge 0$$
   $$(x-3)(x+2)\ge 0$$
   $$x\le -2 \text{ или } x\ge 3.$$
   С учётом $$x<5$$ получаем:
   $$x\in(-\infty;-2]\cup[3;4).$$

   Если $$2x-8\ge 0$$, то есть $$x\ge 4$$, возводим в квадрат:
   $$x^2-x-6>(2x-8)^2$$
   $$x^2-x-6>4x^2-32x+64$$
   $$3x^2-31x+70<0$$
   $$(3x-10)(x-7)<0$$
   $$\frac{10}{3}<x<7.$$
   С учётом $$x<5$$ получаем:
   $$x\in\left(\frac{10}{3};5\right).$$

   2) $$x>5$$. Тогда $$5-x<0$$, и знак неравенства меняется:
   $$\sqrt{x^2-x-6}-2x+8<0$$
   $$\sqrt{x^2-x-6}<2x-8.$$
   Здесь правая часть положительна, значит $$x>4$$, что уже выполнено. Возводим в квадрат:
   $$x^2-x-6<(2x-8)^2$$
   $$3x^2-31x+70>0$$
   $$(3x-10)(x-7)>0$$
   $$x<\frac{10}{3} \text{ или } x>7.$$
   С учётом $$x>5$$ получаем:
   $$x\in(7;+\infty).$$

   Объединяя результаты и учитывая область определения $$x\le -2$$ или $$x\ge 3$$, получаем:
   $$x\in(-\infty;-2]\cup[3;5)\cup(7;+\infty).$$

2. $$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<-1$$

   Перенесём $$-1$$ в левую часть:
   $$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}+x-3}{x-3}<0$$ $$\frac{\sqrt{x^2+3x-4}-2x+4}{x-3}<0.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$x>3$$. Тогда $$x-3>0$$, и нужно:
   $$\sqrt{x^2+3x-4}-2x+4<0$$
   $$\sqrt{x^2+3x-4}<2x-4.$$
   Здесь $$2x-4>0$$, значит можно возвести в квадрат:
   $$x^2+3x-4<(2x-4)^2$$
   $$3x^2-19x+20>0$$
   $$(3x-4)(x-5)>0$$
   $$x<\frac{4}{3} \text{ или } x>5.$$
   С учётом $$x>3$$ получаем:
   $$x\in(5;+\infty).$$

   2) $$x<3$$. Тогда $$x-3<0$$, и знак неравенства меняется:
   $$\sqrt{x^2+3x-4}-2x+4>0$$
   $$\sqrt{x^2+3x-4}>2x-4.$$
   При $$x<3$$ правая часть отрицательна, поэтому достаточно области определения:
   $$x^2+3x-4\ge 0$$
   $$(x+4)(x-1)\ge 0$$
   $$x\le -4 \text{ или } x\ge 1.$$
   С учётом $$x<3$$ получаем:
   $$x\in(-\infty;-4]\cup[1;3).$$

   Объединяя, имеем:
   $$x\in(-\infty;-4]\cup[1;3)\cup(5;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-2]\cup[3;5)\cup(7;+\infty)$$;
2) $$x\in(-\infty;-4]\cup[1;3)\cup(5;+\infty)$$.