Упр.927 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
927 1) корень 9x-20 < x;
2) корень x+7 > x+1;
3) корень x+4/2-x > x;
4) корень 1+5x/1+2x < =1-x.
$$\sqrt{9x-20}
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$x>0$$. Возведём обе части в квадрат:
$$9x-20<x^2$$
$$x^2-9x+20>0$$
$$ (x-4)(x-5)>0 $$
Отсюда $$x<4$$ или $$x>5$$.
С учётом области определения $$9x-20\ge 0$$, то есть $$x\ge \frac{20}{9}$$, получаем:
$$x\in\left[\frac{20}{9};4\right)\cup(5;+\infty)$$
$$\sqrt{x+7}>x+1$$
Если $$x+1<0$$, то неравенство выполняется при $$x\in[-7;-1)$$, так как при этом $$\sqrt{x+7}\ge 0>x+1$$.
Если $$x+1\ge 0$$, возведём обе части в квадрат:
$$x+7>(x+1)^2$$
$$x^2+x-6<0$$
$$ (x+3)(x-2)<0 $$
$$-3<x<2$$
С учётом условия $$x\ge -1$$ получаем $$x\in[-1;2)$$.
Объединяя случаи, имеем:
$$x\in[-7;2)$$
$$\sqrt{\frac{x+4}{2-x}}>x$$
Так как левая часть неотрицательна, то при $$x<0$$ неравенство выполняется, если выражение под корнем определено:
$$\frac{x+4}{2-x}\ge 0$$
Отсюда
$$x\in[-4;2)$$
При $$x\ge 0$$ после возведения в квадрат получаем:
$$\frac{x+4}{2-x}\ge x^2$$
$$\frac{x^3-2x^2+x+4}{x-2}<0$$
$$\frac{(x+1)(x^2-3x+4)}{x-2}<0$$
Так как $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x$$, то остаётся:
$$\frac{x+1}{x-2}<0$$
$$-1<x<2$$
С учётом области определения получаем:
$$x\in[-4;2)$$
$$\sqrt{\frac{1+5x}{1+2x}}\le 1-x$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$1-x\ge 0,\quad x\le 1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\frac{1+5x}{1+2x}\le (1-x)^2$$
$$\frac{1+5x-(1-2x+x^2)(1+2x)}{1+2x}\ge 0$$
$$\frac{2x^3-3x^2-5x}{1+2x}\ge 0$$
$$\frac{x(2x^2-3x-5)}{1+2x}\ge 0$$
$$\frac{x(x+1)(2x-5)}{1+2x}\ge 0$$
Критические точки: $$x=-\frac12,\,-1,\,0,\,\frac52$$.
С учётом области определения $$\frac{1+5x}{1+2x}\ge 0$$ и условия $$x\le 1$$ получаем:
$$x\in(-\infty;-1]\cup\left[-\frac15;0\right]$$
Ответ
1) $$x\in\left[\frac{20}{9};4\right)\cup(5;+\infty)$$; 2) $$x\in[-7;2)$$; 3) $$x\in[-4;2)$$; 4) $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[-\frac15;0\right]$$.
