Упр.926 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить неравенство $$9|x| — 8 \cdot 3x > 9$$ и указать наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству.

Рассмотрим неравенство

$$9^{|x|}-8\cdot 3^x>9.$$

Преобразуем его:

$$3^{2|x|}-8\cdot 3^x-9>0.$$

1) Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$:

$$3^{2x}-8\cdot 3^x-9>0.$$

Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем

$$t^2-8t-9>0.$$

$$t^2-8t-9=(t-9)(t+1).$$

Так как $$t>0$$, то $$t+1>0$$, значит

$$t-9>0,$$

то есть

$$3^x>9=3^2,$$

откуда

$$x>2.$$

2) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:

$$3^{-2x}-8\cdot 3^x-9>0.$$

Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$0<t<1$$ и

$$\frac{1}{t^2}-8t-9>0.$$

Умножим на $$t^2>0$$:

$$1-8t^3-9t^2>0,$$

или

$$8t^3+9t^2-1<0.$$

Разложим на множители:

$$8t^3+9t^2-1=(t+1)(8t^2+t-1).$$

Так как $$t>0$$, то $$t+1>0$$, значит нужно решить

$$8t^2+t-1<0.$$

Найдём корни:

$$D=1+32=33,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{33}}{16}.$$

Положительный корень равен

$$t=\frac{\sqrt{33}-1}{16}.$$

Следовательно,

$$0<3^x<\frac{\sqrt{33}-1}{16},$$

откуда

$$x<\log_3\frac{\sqrt{33}-1}{16}.$$

Итак, решение неравенства:

$$x\in \left(-\infty;\log_3\frac{\sqrt{33}-1}{16}\right)\cup(2;+\infty).$$

Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству, равно $$3$$.

Ответ

$$x\in \left(-\infty;\log_3\frac{\sqrt{33}-1}{16}\right)\cup(2;+\infty),\quad 3.$$