Упр.925 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) log2|x| + 1 (7x+4) — log7x+4(2|x| + 1) > 0.

1) Обозначим

$$y=\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$4y-\frac{1}{y}>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4y^2-1}{y}>0,$$

$$\frac{(2y-1)(2y+1)}{y}>0.$$

Отсюда

$$-\frac12<y<0 \quad \text{или} \quad y>\frac12.$$

Найдём область определения:

$$4x+3>0,\quad 3|x|+1>0,\quad \log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3}\ne 0,$$

то есть

$$x>-\frac34,\quad x\ne -\frac12,\quad x\ne 0.$$

Случай 1: $$-\frac12<y<0.$$ Тогда

$$-\frac12<\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3}<0.$$

Так как основание $$3|x|+1>1,$$ получаем

$$\frac{1}{\sqrt{3|x|+1}}<\sqrt{4x+3}<1.$$

Из правого неравенства:

$$4x+3<1,$$

$$x<-\frac12.$$

Из левого неравенства:

$$\sqrt{(4x+3)(3|x|+1)}>1,$$

$$ (4x+3)(3|x|+1)>1.$$

При $$x<-\frac12$$ имеем $$|x|=-x,$$ поэтому

$$ (4x+3)(1-3x)>1,$$

$$-12x^2+4x+3-9x>1,$$

$$12x^2+5x-2<0.$$

Корни:

$$D=5^2-4\cdot 12\cdot(-2)=121,$$

$$x_1=-\frac23,\quad x_2=\frac14.$$

Следовательно,

$$-\frac23<x<\frac14.$$

С учётом $$x<-\frac12$$ получаем

$$-\frac23<x<-\frac12.$$

Случай 2: $$y>\frac12.$$ Тогда

$$\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3}>\frac12,$$

$$\sqrt{4x+3}>\sqrt{3|x|+1},$$

$$4x+3>3|x|+1.$$

Рассмотрим два случая.

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$ и

$$4x+3>3x+1,$$

$$x>-2.$$

С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$x>0.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и

$$4x+3>-3x+1,$$

$$7x>-2,$$

$$x>-\frac27.$$

С учётом $$x<0$$ получаем

$$-\frac27<x<0.$$

Итак, для первого неравенства

$$x\in\left(-\frac23;-\frac12\right)\cup\left(-\frac27;0\right)\cup(0;+\infty).$$

2) Обозначим

$$y=\log_{2|x|+1}(7x+4).$$

Тогда

$$y-\frac1y>0,$$

$$\frac{y^2-1}{y}>0,$$

$$\frac{(y-1)(y+1)}{y}>0.$$

Отсюда

$$-1<y<0 \quad \text{или} \quad y>1.$$

Область определения:

$$7x+4>0,\quad 2|x|+1>0,\quad \log_{2|x|+1}(7x+4)\ne 0,$$

то есть

$$x>-\frac47,\quad x\ne -\frac37,\quad x\ne 0.$$

Случай 1: $$-1<y<0.$$ Тогда

$$-1<\log_{2|x|+1}(7x+4)<0.$$

Так как $$2|x|+1>1,$$ имеем

$$\frac1{2|x|+1}<7x+4<1.$$

Из правого неравенства:

$$7x+4<1,$$

$$x<-\frac37.$$

Из левого неравенства:

$$ (7x+4)(2|x|+1)>1.$$

При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x,$$ поэтому

$$ (7x+4)(1-2x)>1,$$

$$-14x^2+x+4-8x>1,$$

$$14x^2+7x-3<0.$$

Корни:

$$D=7^2-4\cdot 14\cdot(-3)=169,$$

$$x_1=-\frac12,\quad x_2=\frac37.$$

Следовательно,

$$-\frac12<x<\frac37.$$

С учётом $$x<-\frac37$$ получаем

$$-\frac12<x<-\frac37.$$

Случай 2: $$y>1.$$ Тогда

$$\log_{2|x|+1}(7x+4)>1,$$

$$7x+4>2|x|+1.$$

Если $$x\ge 0,$$ то

$$7x+4>2x+1,$$

$$5x>-3,$$

$$x&gt{0}.$$

Если $$x<0,$$ то

$$7x+4>-2x+1,$$

$$9x>-3,$$

$$x&gt-\frac13.$$

С учётом $$x<0$$ получаем

$$-\frac13<x<0.$$

Итак, для второго неравенства

$$x\in\left(-\frac12;-\frac37\right)\cup\left(-\frac13;0\right)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\frac23;-\frac12\right)\cup\left(-\frac27;0\right)\cup(0;+\infty).$$

2) $$x\in\left(-\frac12;-\frac37\right)\cup\left(-\frac13;0\right)\cup(0;+\infty).$$