Упр.924 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
2) log6x-1 x/6x-1 > 2logx(6x-1);
3) logx+4(корень x+5 + 1) < =1.
Рассмотрим неравенство $$\log_{6x+1}(25x)-2\log_{25x}(6x+1)>1.$$
Положим $$y=\log_{6x+1}(25x).$$ Тогда
$$\log_{25x}(6x+1)=\frac{1}{y},$$
и неравенство принимает вид
$$y-\frac{2}{y}-1>0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{y^2-y-2}{y}>0,$$
$$\frac{(y+1)(y-2)}{y}>0.$$
Отсюда
$$-1<y<0 \quad \text{или} \quad y>2.$$
Теперь учтём область определения:
$$25x>0,\quad 25x\ne 1,\quad 6x+1>0.$$
1) Если $$-1<\log_{6x+1}(25x)<0,$$ то
$$\frac{1}{6x+1}<25x<1.$$
Из неравенства $$25x<1$$ получаем $$x<\frac{1}{25}.$$
Из неравенства $$25x>\frac{1}{6x+1}$$:
$$25x(6x+1)-1>0,$$
$$150x^2+25x-1>0,$$
$$\left(x+\frac15\right)\left(x-\frac{1}{30}\right)>0.$$
С учётом ОДЗ получаем
$$x\in\left(\frac{1}{30},\frac{1}{25}\right).$$
2) Если $$\log_{6x+1}(25x)>2,$$ то
$$25x>(6x+1)^2,$$
$$25x>36x^2+12x+1,$$
$$36x^2-13x+1<0.$$
Найдём корни:
$$D=13^2-4\cdot 36=25,$$
$$x_1=\frac{13-5}{72}=\frac19,\qquad x_2=\frac{13+5}{72}=\frac14.$$
Тогда
$$x\in\left(\frac19,\frac14\right).$$
Итак, для первого неравенства
$$x\in\left(\frac{1}{30},\frac{1}{25}\right)\cup\left(\frac19,\frac14\right).$$
Рассмотрим неравенство $$\log_{6x-1}\frac{x}{6x-1}>2\log_x(6x-1).$$
Положим $$y=\log_{6x-1}x.$$ Тогда
$$\log_x(6x-1)=\frac{1}{y},$$
и получаем
$$y-1>\frac{2}{y}.$$
То есть
$$\frac{y^2-y-2}{y}>0,$$
$$\frac{(y+1)(y-2)}{y}>0,$$
откуда
$$-1<y<0 \quad \text{или} \quad y>2.$$
Область определения:
$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x\ne \frac16,\quad x\ne \frac13.$$
1) Если $$\frac16<x<\frac13,$$ то $$0<6x-1<1.$$
Тогда из $$-1<\log_{6x-1}x<0$$ и $$\log_{6x-1}x>2$$ получаем противоречие с ОДЗ, поэтому решений здесь нет.
2) Если $$\frac13<x<1,$$ то $$6x-1>1.$$
Из условия $$-1<\log_{6x-1}x<0$$ получаем
$$\frac{1}{6x-1}<x<1,$$
то есть
$$x>{\frac{1}{6x-1}}.$$
Это равносильно
$$x(6x-1)-1>0,$$
$$6x^2-x-1>0,$$
$$\left(6x-3\right)\left(x+\frac13\right)>0,$$
откуда с учётом интервала $$\left(\frac13,1\right)$$ получаем
$$x\in\left(\frac12,1\right).$$
Итак, для второго неравенства
$$x\in\left(\frac14,\frac13\right)\cup\left(\frac12,1\right).$$
Рассмотрим неравенство $$\log_{x+4}\left(\sqrt{x+5}+1\right)\le 1.$$
Область определения:
$$x+4>0,\quad x+4\ne 1,\quad x+5\ge 0,$$
то есть
$$x>-4,\quad x\ne -3.$$
1) Если $$x>-3,$$ то основание логарифма больше 1, и неравенство равносильно
$$\sqrt{x+5}+1\le x+4.$$
Тогда
$$\sqrt{x+5}\le x+3.$$
Так как правая часть неотрицательна, имеем $$x\ge -3.$$ Возводим в квадрат:
$$x+5\le (x+3)^2,$$
$$x^2+5x+4\ge 0,$$
$$\left(x+4\right)\left(x+1\right)\ge 0.$$
С учётом $$x>-3$$ получаем
$$x\in[-1,+\infty).$$
2) Если $$-4<x<-3,$$ то $$0<x+4<1.$$
Тогда знак неравенства меняется, и получаем
$$\sqrt{x+5}+1\ge x+4,$$
$$\sqrt{x+5}\ge x+3.$$
Это верно для всех $$x\in(-4,-3).$$
Итак, для третьего неравенства
$$x\in(-4,-3)\cup[-1,+\infty).$$
Ответ
1) $$x\in\left(\frac{1}{30},\frac{1}{25}\right)\cup\left(\frac19,\frac14\right);$$
2) $$x\in\left(\frac14,\frac13\right)\cup\left(\frac12,1\right);$$
3) $$x\in(-4,-3)\cup[-1,+\infty).$$
