Упр.923 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$\sqrt{32x+4}-\sqrt{|32x-7|}<1$$
- $$3^x\left(\sqrt{9^{1-x}-1}+1\right)<3|3^x-1|$$
Пусть $$t=32^x$$, тогда $$t>0$$ и неравенство принимает вид
$$\sqrt{t+4}-\sqrt{|t-7|}<1.$$
Перенесём второй корень вправо и возведём в квадрат:
$$\sqrt{t+4}<1+\sqrt{|t-7|}$$
$$t+4<1+2\sqrt{|t-7|}+|t-7|.$$
1) Если $$t\ge 7$$, то $$|t-7|=t-7$$, и получаем
$$t+4<1+2\sqrt{t-7}+t-7,$$
$$2\sqrt{t-7}>10,$$
$$\sqrt{t-7}>5,$$
$$t>32.$$
Так как $$t=32^x$$, то
$$32^x>32 \;\Rightarrow\; x>1.$$
2) Если $$t<7$$, то $$|t-7|=7-t$$, и
$$t+4<1+2\sqrt{7-t}+7-t,$$
$$2\sqrt{7-t}>t-4.$$
После возведения в квадрат получаем
$$7-t>\frac{(t-4)^2}{4},$$
$$28-4t>{t^2-8t+16},$$
$$t^2-4t-12<0,$$
$$(t-6)(t+2)<0.$$
С учётом $$t>0$$ и $$t<7$$ получаем
$$0<t<6.$$
Тогда
$$0<32^x<6,$$
$$x<\log_{32}6.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;\log_{32}6)\cup(1;+\infty).$$
Пусть $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$. Имеем
$$3^x\left(\sqrt{9^{1-x}-1}+1\right)<3|3^x-1|.$$
Так как $$9^{1-x}=9\cdot 9^{-x}=9\cdot 3^{-2x}=\dfrac{9}{3^{2x}}=\dfrac{9}{t^2},$$ то
$$t\left(\sqrt{\frac{9}{t^2}-1}+1\right)<3|t-1|,$$
$$\sqrt{9-t^2}+t<3|t-1|.$$
1) Если $$t\ge 1$$, то $$|t-1|=t-1$$, и
$$\sqrt{9-t^2}+t<3(t-1),$$
$$\sqrt{9-t^2}<2t-3.$$
Отсюда обязательно $$2t-3>0$$, то есть $$t>\dfrac32$$. Возводим в квадрат:
$$9-t^2<(2t-3)^2,$$
$$9-t^2<4t^2-12t+9,$$
$$5t^2-12t>0,$$
$$t(5t-12)>0.$$
С учётом $$t>0$$ получаем $$t>\dfrac{12}{5}.$$
Тогда
$$3^x>\frac{12}{5},$$
$$x>\log_3\frac{12}{5}.$$
2) Если $$t<1$$, то $$|t-1|=1-t$$, и
$$\sqrt{9-t^2}+t<3(1-t),$$
$$\sqrt{9-t^2}<3-4t.$$
Здесь нужно $$3-4t>0$$, что выполняется при $$t<1$$. Возводим в квадрат:
$$9-t^2<(3-4t)^2,$$
$$9-t^2<9-24t+16t^2,$$
$$17t^2-24t>0,$$
$$t(17t-24)>0.$$
Так как $$t>0$$, то $$t>\dfrac{24}{17}$$, что противоречит условию $$t<1$$. Значит, решений здесь нет.
Кроме того, область определения задаётся неравенством
$$9-t^2\ge 0,$$
то есть
$$0<t\le 3.$$
Итак, окончательно
$$x\in\left(\log_3\frac{12}{5};\,1\right].$$
Ответ
1) $$x\in(-\infty;\log_{32}6)\cup(1;+\infty)$$; 2) $$x\in\left(\log_3\frac{12}{5};\,1\right]$$.
