Упр.921 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) (3x-1)log2x > 0;
3) log7log1.3 x2+|x|-30/x+6 < 0.

1. $$\left(x^2-4\right)\log_{0,5}x>0$$

   Рассмотрим знаки множителей.

   $$x^2-4>0 \;\Longleftrightarrow\; (x-2)(x+2)>0 \;\Longleftrightarrow\; x<-2 \text{ или } x>2,$$
   но с учётом области определения $$x>0$$ получаем $$x>2.$$

   $$\log_{0,5}x>0 \;\Longleftrightarrow\; 0<x<1.$$

   Пересечение условий:

   $$x>2 \;\cap\; (0;1)=\varnothing.$$

   Значит, при данном знаке неравенство решений не имеет.

2. $$\left(3x-1\right)\log_2 x>0$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Множители должны быть одного знака.

   1) $$3x-1>0 \;\Longleftrightarrow\; x>\frac13,$$
   $$\log_2 x>0 \;\Longleftrightarrow\; x>1.$$
   Тогда $$x>1.$$

   2) $$3x-1<0 \;\Longleftrightarrow\; x<\frac13,$$
   $$\log_2 x<0 \;\Longleftrightarrow\; 0<x<1.$$
   Тогда $$0<x<\frac13.$$

   Объединяя, получаем:

   $$x\in\left(0;\frac13\right)\cup(1;+\infty).$$

3. $$\log_7\log_{1/3}\frac{x^2+|x|-30}{x+6}<0$$

   Так как основание $$7>1,$$ то

   $$\log_{1/3}\frac{x^2+|x|-30}{x+6}<1.$$

   Поскольку основание $$\frac13<1,$$ получаем

   $$\frac{x^2+|x|-30}{x+6}>\frac13.$$

   Решим неравенство с модулем по случаям.

   1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$:

   $$\frac{x^2+x-30}{x+6}>\frac13,$$
   $$\frac{3x^2+3x-90-x-6}{3(x+6)}>0,$$
   $$\frac{3x^2+2x-96}{x+6}>0.$$

   $$3x^2+2x-96=0,$$
   $$D=2^2+4\cdot 3\cdot 96=1156,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 34}{6}.$$
   Отсюда $$x_1=-6,\; x_2=\frac{16}{3}.$$

   Тогда
   $$\frac{(x+6)\left(x-\frac{16}{3}\right)}{x+6}>0,$$
   значит $$x>\frac{16}{3}$$ или $$x<-6.$$
   С учётом $$x\ge 0$$ получаем
   $$x\in\left(\frac{16}{3};+\infty\right).$$

   2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$:

   $$\frac{x^2-x-30}{x+6}>\frac13,$$
   $$\frac{3x^2-3x-90-x-6}{3(x+6)}>0,$$
   $$\frac{3x^2-4x-96}{x+6}>0.$$

   $$3x^2-4x-96=0,$$
   $$D=16+1152=1168=16\cdot 73,$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 4\sqrt{73}}{6}=\frac{2\pm 2\sqrt{73}}{3}.$$

   Тогда
   $$\frac{3\left(x-\frac{2-2\sqrt{73}}{3}\right)\left(x-\frac{2+2\sqrt{73}}{3}\right)}{x+6}>0.$$
   С учётом $$x<0$$ получаем
   $$x\in\left(\frac{2-2\sqrt{73}}{3};-6\right)\cup\left(-6;\frac{2+2\sqrt{73}}{3}\right).$$
   Но из условия $$x<0$$ остаётся
   $$x\in\left(\frac{2-2\sqrt{73}}{3};-6\right).$$

   Итак, решение третьего неравенства:

   $$x\in\left(\frac{2-2\sqrt{73}}{3};-6\right)\cup\left(\frac{16}{3};+\infty\right).$$

Ответ

1) $$\varnothing$$;
2) $$x\in\left(0;\frac13\right)\cup(1;+\infty)$$;
3) $$x\in\left(\frac{2-2\sqrt{73}}{3};-6\right)\cup\left(\frac{16}{3};+\infty\right).$$