Упр.920 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 920 log|2x+2|(1-9x) < log|2x+2}(1+3x) + log|2x+2|(5/9 + 3x-1).
Обозначим основание логарифма: $$|2x+2|.$$
Тогда исходное неравенство можно записать так:
$$\log_{|2x+2|}(1-9^x)<\log_{|2x+2|}(1+3^x)+\log_{|2x+2|}\left(\frac59+3^{x-1}\right).$$
Сложим логарифмы справа:
$$\log_{|2x+2|}(1-9^x)<\log_{|2x+2|}\left((1+3^x)\left(\frac59+3^{x-1}\right)\right).$$
1) Область допустимых значений.
Для логарифмов нужно:
$$|2x+2|>0,\qquad |2x+2|\ne 1,$$
$$1-9^x>0,\qquad 1+3^x>0,\qquad \frac59+3^{x-1}>0.$$
Из условия $$1-9^x>0$$ получаем $$9^x<1,$$ значит $$x<0.$$
Также
$$|2x+2|\ne 1 \;\Longrightarrow\; 2x+2\ne 1,\; 2x+2\ne -1,$$
откуда
$$x\ne -\frac12,\qquad x\ne -\frac32.$$
Кроме того, при $$x<0$$ имеем $$3^x>0,$$ поэтому $$1+3^x>0$$ и $$\frac59+3^{x-1}>0.$$
2) Учитываем основание логарифма.
Если $$|2x+2|>1,$$ то логарифмическая функция возрастает, и тогда
$$1-9^x<(1+3^x)\left(\frac59+3^{x-1}\right).$$
Если $$0<|2x+2|<1,$$ то логарифмическая функция убывает, и знак неравенства меняется:
$$1-9^x>(1+3^x)\left(\frac59+3^{x-1}\right).$$
Положим $$t=3^x, t>0.$$ Тогда $$9^x=t^2$$ и $$3^{x-1}=\frac{t}{3}.$$
Случай 1. $$|2x+2|>1.$$
При $$x<0$$ это даёт $$x<-\\frac32$$ или $$x>0,$$ но с учётом $$x<0$$ остаётся $$x<-\frac32.$$
Решаем неравенство:
$$1-t^2<(1+t)\left(\frac59+\frac{t}{3}\right).$$
После преобразований:
$$1-t^2<\frac59+\frac{8}{9}t+\frac13 t^2,$$
$$12t^2+8t-4>0,$$
$$3t^2+2t-1>0,$$
$$ (3t-1)(t+1)>0.$$
Так как $$t>0,$$ получаем $$3t-1>0,$$ то есть
$$t>\frac13,$$
$$3^x>{3^{-1}},$$
$$x>-1.$$
Совместно с $$x<-\frac32$$ решений нет.
Случай 2. $$0<|2x+2|<1.$$
При $$x<0$$ это даёт
$$-\frac32<x<-\frac12.$$
Тогда
$$1-t^2>(1+t)\left(\frac59+\frac{t}{3}\right).$$
Преобразуем:
$$1-t^2>\frac59+\frac89 t+\frac13 t^2,$$
$$12t^2+8t-4<0,$$
$$3t^2+2t-1<0,$$
$$ (3t-1)(t+1)<0.$$
Так как $$t>0,$$ то
$$0<t<\frac13,$$
то есть
$$3^x<3^{-1},\qquad x<-1.$$
С учётом $$-\frac32<x<-\frac12$$ получаем
$$-\frac32<x<-1.$$
Итак, объединяя результаты, получаем:
$$x\in\left(-\frac32,-1\right)\cup\left(-\frac12,0\right).$$
Ответ
$$x\in\left(-\frac32,-1\right)\cup\left(-\frac12,0\right).$$
