Упр.919 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. 919. Решить неравенства:
   1) $$x\lg^2 x-3\lg x+1>1000$$;
   2) $$3\lg x+2<3\lg x^2+5-2$$.

1. $$x^{\lg 2x-3\lg x+1}>1000.$$

   Так как $$1000=10^3,$$ то

   $$x^{\lg 2x-3\lg x+1}>10^3.$$

   Возьмём логарифм по основанию $$10$$:

   $$\lg x\cdot(\lg 2x-3\lg x+1)>3.$$

   Пусть $$y=\lg x,$$ тогда $$\lg 2x=\lg 2+\lg x=\lg 2+y.$$ Получаем

   $$y(\lg 2+y-3y+1)>3,$$

   $$y(\lg 2-2y+1)>3,$$

   $$2y^2-(\lg 2+1)y+3<0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(\lg 2+1)^2-24<0.$$

   Следовательно, неравенство не имеет решений.

2. $$3^{\lg x+2}<3^{\lg x^2+5}-2.$$

   Преобразуем степени:

   $$9\cdot 3^{\lg x}<243\cdot 3^{2\lg x}-2.$$

   Пусть $$y=3^{\lg x},$$ тогда $$y>0$$ и $$3^{2\lg x}=y^2.$$ Получаем

   $$9y<243y^2-2,$$

   $$243y^2-9y-2>0.$$

   Найдём корни:

   $$D=9^2+4\cdot 243\cdot 2=2025,$$

   $$y_1=\frac{9-45}{2\cdot 243}=-\frac{2}{27},\qquad y_2=\frac{9+45}{2\cdot 243}=\frac19.$$

   Тогда

   $$\left(y+\frac{2}{27}\right)\left(y-\frac19\right)>0.$$

   С учётом $$y>0$$ получаем

   $$y>\frac19.$$

   Возвращаемся к замене:

   $$3^{\lg x}>\frac19=3^{-2},$$

   $$\lg x>-2,$$

   $$x>10^{-2}=0{,}01.$$

Ответ

1) решений нет; 2) $$x\in(0{,}01;+\infty).$$