Упр.918 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, при которых неравенство $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2+ax+1)<1$$ выполняется для всех $$x$$ из промежутка $$x<0$$.

Так как основание логарифма $$\frac12<1,$$ то из неравенства

$$\log_{\frac12}(x^2+ax+1)<1$$

получаем

$$x^2+ax+1>\frac12,$$

то есть

$$x^2+ax+\frac12>0.$$

Это квадратный трехчлен. Нужно, чтобы он был положительным при всех $$x<0.$$

Рассмотрим его дискриминант:

$$D=a^2-4\cdot \frac12=a^2-2.$$

Чтобы неравенство выполнялось для всех $$x<0,$$ достаточно, чтобы парабола не имела отрицательных корней. Для этого:

1) либо квадратный трехчлен всегда положителен:

$$D<0,$$

$$a^2-2<0,$$

$$-\sqrt2<a<\sqrt2;$$

2) либо его наименьший корень неотрицателен. Тогда

$$x_1=\frac{-a-\sqrt{a^2-2}}{2}\ge 0.$$

Это возможно только при $$a<0,$$ и при этом условии действительно все корни неотрицательны.

Следовательно, подходят все значения

$$a<\sqrt2.$$

Ответ

$$a<\sqrt2.$$