Упр.917 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) logx2|3x+ 1| < 1/2.

Подробный ответ

$$\log_{|2x+1|} x^2 \ge 2.$$
Перепишем неравенство в показательной форме:
$$\log_{|2x+1|} x^2 \ge 2 \iff \log_{|2x+1|} |x| \ge 1.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$0<|2x+1|<1.$$
Тогда логарифмическая функция убывает, и
$$|x| \le |2x+1|.$$
Отсюда
$$x^2 \le (2x+1)^2,$$
$$x^2-4x^2-4x-1 \le 0,$$
$$3x^2+4x+1 \ge 0,$$
$$ (3x+1)(x+1)\ge 0.$$
С учётом $$0<|2x+1|<1$$ получаем $$-1<x<0.$$
Тогда
$$x \in \left(-1;-\frac13\right] \cup \left[-\frac13;0\right).$$
2) $$|2x+1|>1.$$
Тогда логарифмическая функция возрастает, и
$$|x| \ge |2x+1|.$$
Отсюда
$$x^2 \ge (2x+1)^2,$$
$$3x^2+4x+1 \le 0,$$
$$ (3x+1)(x+1)\le 0.$$
С учётом $$|2x+1|>1$$ получаем
$$x \in \left[-1;-\frac13\right).$$
Объединяя результаты и учитывая область определения $$|2x+1|>0,$$ получаем
$$x \in \left[-1;-\frac13\right).$$
$$\log_{x^2} |3x+1| < \frac12.$$
Область определения:
$$x^2>0,\quad x^2\ne 1,\quad |3x+1|>0,$$
то есть
$$x\ne 0,\quad x\ne \pm 1,\quad x\ne -\frac13.$$
Преобразуем неравенство:
$$\log_{x^2} |3x+1| < \frac12 \iff \log_{|x|} |3x+1| < 1.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$|x|>1.$$
Тогда логарифмическая функция возрастает, и
$$|3x+1|<|x|.$$
Отсюда
$$ (3x+1)^2<x^2,$$
$$8x^2+6x+1<0,$$
$$ (4x+1)(2x+1)<0.$$
С учётом $$|x|>1$$ получаем
$$x\in(-1;-\tfrac12).$$
2) $$0<|x|<1.$$
Тогда логарифмическая функция убывает, и
$$|3x+1|>|x|.$$
Отсюда
$$ (3x+1)^2>x^2,$$
$$8x^2+6x+1>0,$$
$$ (4x+1)(2x+1)>0.$$
С учётом $$0<|x|<1$$ получаем
$$x\in\left(-\frac14;0\right)\cup(0;1).$$
Объединяя с областью определения, получаем
$$x\in(-1;-\tfrac12)\cup\left(-\tfrac14;0\right)\cup(0;1).$$