Упр.914 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) log1/3(log4(x2-5)) > 0.

1. $$\log_{\frac12}\!\left(\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\right)\le 0.$$
   Так как $$0<\frac12<1,$$ то $$\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\ge 1.$$ Снова учитываем, что основание логарифма меньше 1: $$\frac{3x+1}{x-1}\le \frac12.$$ Решаем неравенство: $$ \frac{3x+1}{x-1}-\frac12\le 0 $$ $$ \frac{2(3x+1)-(x-1)}{2(x-1)}\le 0 $$ $$ \frac{5x+3}{x-1}\le 0. $$ Отсюда $$x\in\left[-\frac35;1\right).$$ Теперь найдём область определения: $$ \log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}>0. $$
   При $$0<\frac12<1$$ это равносильно $$ 0<\frac{3x+1}{x-1}<1. $$ Решая систему, получаем $$ x\in\left(-1;-\frac13\right)\cup(1;+\infty). $$ Пересекаем с найденным множеством: $$ \left[-\frac35;1\right)\cap\left(\left(-1;-\frac13\right)\cup(1;+\infty)\right) =\left[-\frac35;-\frac13\right). $$
2. $$\log_{\frac13}\!\left(\log_4(x^2-5)\right)>0.$$
   Так как $$0<\frac13<1,$$ то $$\log_4(x^2-5)<1.$$ Тогда $$ x^2-5<4 $$ $$ x^2-9<0 $$ $$ (x-3)(x+3)<0, $$ откуда $$-30. $$
   При основании $$4>1$$ это равносильно
   $$ x^2-5>1 $$
   $$ x^2-6>0 $$
   $$ (x-\sqrt6)(x+\sqrt6)>0, $$
   значит,
   $$x\in(-\infty;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;+\infty).$$

   Пересекаем условия:
   $$ (-3;3)\cap\left((-\infty;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;+\infty)\right) =(-3;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;3). $$

Ответ

1) $$x\in\left[-\frac35;-\frac13\right);$$
2) $$x\in(-3;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;3).$$