Упр.911 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{\lg x}<\frac{1}{2}$$
2. $$\log_{\frac{1}{2}}x<\log_{\frac{1}{2}}(2x+6)+2$$

1. $$\sqrt{\lg x}<\frac12$$

   Так как левая часть неотрицательна, возведём обе части в квадрат:

   $$\lg x<\frac14.$$

   Тогда

   $$x<10^{1/4}.$$

   Учитываем область определения корня:

   $$\lg x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 1.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left[1;10^{1/4}\right).$$

2. $$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}(2x+6)+2$$

   Представим число $$2$$ как логарифм:

   $$2=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^2=\log_{\frac12}\frac14.$$

   Тогда

   $$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}(2x+6)+\log_{\frac12}\frac14,$$

   $$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}\frac{2x+6}{4}.$$

   Так как основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

   $$x>\frac{2x+6}{4}.$$

   Решим неравенство:

   $$4x>2x+6,$$

   $$2x>6,$$

   $$x>3.$$

   Область определения:

   $$x>0,\qquad 2x+6>0.$$

   Она выполняется при $$x>3,$$ поэтому

   $$x\in(3;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in\left[1;10^{1/4}\right);$$ 2) $$x\in(3;+\infty).$$