Упр.910 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. 1) $$\log_6(2-x)<\log_6(2x+5);$$
   2) $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-2)\geq -1.$$

1. $$\log_6(2-x)<\log_6(2x+5)$$

   Так как основание $$6>1$$, то логарифмическая функция возрастает, значит

   $$2-x<2x+5$$

   $$-3x<3$$

   $$x>-1$$

   Учтём область определения:

   $$2-x>0,\quad 2x+5>0$$

   $$x<2,\quad x>-\frac52$$

   Пересекаем все условия:

   $$x\in(-1;2)$$

2. $$\log_{\frac12}(x^2-2)\ge -1$$

   Представим число $$-1$$ в виде логарифма:

   $$-1=\log_{\frac12}\left(\left(\frac12\right)^{-1}\right)=\log_{\frac12}2$$

   Так как основание $$\frac12<1$$, логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

   $$x^2-2\le 2$$

   $$x^2\le 4$$

   $$-2\le x\le 2$$

   Теперь учтём область определения:

   $$x^2-2>0$$

   $$x^2>2$$

   $$x<-\sqrt2 \quad \text{или} \quad x>\sqrt2$$

   Пересекаем с $$[-2;2]$$:

   $$x\in[-2;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;2]$$

Ответ

1) $$x\in(-1;2)$$; 2) $$x\in[-2;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;2]$$.