Упр.91 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

91. Построить график функции:
    1) $$y=\operatorname{tg}|x|$$;
    2) $$y=|\operatorname{tg}x|$$;
    3) $$y=\operatorname{ctg}x$$;
    4) $$y=\frac{1}{\operatorname{ctg}x}$$.

1. $$y=\tg|x|$$

   Так как аргумент взят по модулю, то график функции $$y=\tg x$$ при $$x<0$$ отражается относительно оси $$Oy$$. Поэтому функция чётная, область определения:

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   Вертикальные асимптоты: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k$$. График проходит через точку $$\left(0,0\right)$$ и симметричен относительно оси $$Oy$$.

2. $$y=|\tg x|$$

   Берём график $$y=\tg x$$ и все его части, лежащие ниже оси $$Ox$$, отражаем вверх относительно оси $$Ox$$. Получаем неотрицательную функцию.

   Область определения:

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   Нули функции: $$x=\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

3. $$y=\ctg x$$

   Это стандартный график котангенса. Область определения:

   $$x\ne \pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   Вертикальные асимптоты: $$x=\pi k$$. Функция убывает на каждом промежутке $$\left(\pi k,\pi(k+1)\right)$$.

4. $$y=\frac{1}{\ctg x}=\tg x$$

   Так как $$\dfrac{1}{\ctg x}=\tg x$$, то график совпадает с графиком функции $$y=\tg x$$.

   Область определения:

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   Нули функции: $$x=\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) график $$y=\tg|x|$$ — чётный, симметричен относительно оси $$Oy$$;
2) график $$y=|\tg x|$$ — отражение отрицательных ветвей $$y=\tg x$$ вверх;
3) график $$y=\ctg x$$ — стандартный график котангенса;
4) $$y=\dfrac{1}{\ctg x}=\tg x$$.