Упр.908 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$3x^2+6x<1$$
2. $$\left(\frac{1}{4}\right)^x-x^2>\frac{1}{2}$$
3. $$\frac{4^x-3}{x^2+6x+11}<1$$
4. $$2^{2x+1}-21\left(\frac{1}{2}\right)^{2x+3}+2\geqslant0$$
5. $$3^{4-3x}-35\left(\frac{1}{3}\right)^{2-3x}+6\geqslant0$$

1. $$3^{x^2+6x}<1$$
   Так как $$1=3^0$$ и основание $$3>1$$, получаем:
   $$x^2+6x<0$$ $$x(x+6)<0$$ $$-6<x<0$$
2. $$\left(\frac14\right)^{x-x^2}>\frac12$$
   
   Преобразуем к основанию $$2$$:
   $$\left(\frac12\right)^{2x-2x^2}>\left(\frac12\right)^1$$
   Так как $$0<\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
   $$2x-2x^2<1$$
   $$2x^2-2x+1>0$$
   Дискриминант:
   $$D=(-2)^2-4\cdot2\cdot1=4-8=-4<0$$
   Следовательно, выражение всегда положительно при всех $$x$$.
   
   Значит,
   $$x\in(-\infty;+\infty)$$
3. $$4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}}<1$$
   Так как $$1=4^0$$ и $$4>1$$, то
   $$\frac{x-3}{x^2+6x+11}<0$$
   Знаменатель:
   $$x^2+6x+11=(x+3)^2+2>0$$
   при всех $$x$$. Поэтому нужно лишь:
   $$x-3<0$$
   $$x<3$$
4. $$2^{2x+1}-21\left(\frac12\right)^{2x+3}+2\ge 0$$
   
   Положим $$y=2^{2x}$$, тогда $$y>0$$ и
   $$2^{2x+1}=2y,\qquad \left(\frac12\right)^{2x+3}=\frac{1}{8\cdot 2^{2x}}=\frac{1}{8y}$$
   Получаем:
   $$2y-\frac{21}{8y}+2\ge 0$$
   Умножим на $$8y>0$$:
   $$16y^2+16y-21\ge 0$$
   Найдём корни:
   $$D=16^2-4\cdot16\cdot(-21)=256+1344=1600$$
   $$y_{1,2}=\frac{-16\pm40}{32}$$
   $$y_1=-\frac74,\qquad y_2=\frac34$$
   Тогда
   $$16\left(y+\frac74\right)\left(y-\frac34\right)\ge 0$$
   С учётом $$y>0$$ остаётся:
   $$y\ge \frac34$$
   То есть
   $$2^{2x}\ge \frac34$$
   $$2x\ge \log_2\frac34$$
   $$x\ge \frac12\log_2\frac34$$
5. $$3^{4-3x}-35\left(\frac13\right)^{2-3x}+6\ge 0$$
   
   Преобразуем:
   $$3^{4-3x}-35\cdot 3^{3x-2}+6\ge 0$$
   Положим $$y=3^{3x}$$, тогда $$y>0$$ и
   $$3^{4-3x}=\frac{81}{y},\qquad 3^{3x-2}=\frac{y}{9}$$
   Получаем:
   $$\frac{81}{y}-35\cdot\frac{y}{9}+6\ge 0$$
   Умножим на $$9y>0$$:
   $$729-35y^2+54y\ge 0$$
   $$35y^2-54y-729\le 0$$
   Найдём корни:
   $$D=54^2+4\cdot35\cdot729=104976$$
   $$y_{1,2}=\frac{54\pm324}{70}$$
   $$y_1=-\frac{27}{7},\qquad y_2=\frac{27}{5}$$
   Тогда
   $$35\left(y+\frac{27}{7}\right)\left(y-\frac{27}{5}\right)\le 0$$
   С учётом $$y>0$$ получаем:
   $$0<y\le \frac{27}{5}$$
   Значит,
   $$3^{3x}\le \frac{27}{5}$$
   $$3x\le \log_3\frac{27}{5}$$
   $$3x\le 3-\log_3 5$$
   $$x\le 1-\frac13\log_3 5$$

Ответ

1) $$x\in(-6;0)$$;
2) $$x\in(-\infty;+\infty)$$;
3) $$x\in(-\infty;3)$$;
4) $$x\in\left[\frac12\log_2\frac34;+\infty\right)$$;
5) $$x\in\left(-\infty;1-\frac13\log_3 5\right]$$.