Упр.908 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) (1/4)x-x2 > 1/2;
3) 4x-3/x2+6x+11 < 1; 4) 2^2x+1 - 21*(1/2)2x+3 + 2 > =0;
5) 3^4-3x — 35(1/3)2-3x + 6 > =0.

1. $$3^{x^2+6x}<1$$
   Так как $$1=3^0$$ и основание $$3>1$$, получаем:
   $$x^2+6x<0$$ $$x(x+6)<0$$ $$-6<x<0$$
2. $$\left(\frac14\right)^{x-x^2}>\frac12$$
   
   Преобразуем к основанию $$2$$:
   $$ \left(\frac12\right)^{2x-2x^2}>\left(\frac12\right)^1 $$
   Так как $$0<\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
   $$ 2x-2x^2<1 $$
   $$ 2x^2-2x+1>0 $$
   Дискриминант:
   $$D=(-2)^2-4\cdot2\cdot1=4-8=-4<0$$
   Следовательно, выражение всегда положительно при всех $$x$$.
   
   Значит,
   $$x\in(-\infty;+\infty)$$
3. $$4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}}<1$$
   Так как $$1=4^0$$ и $$4>1$$, то
   $$ \frac{x-3}{x^2+6x+11}<0 $$
   Знаменатель:
   $$ x^2+6x+11=(x+3)^2+2>0 $$
   при всех $$x$$. Поэтому нужно лишь:
   $$x-3<0$$
   $$x<3$$
4. $$2^{2x+1}-21\left(\frac12\right)^{2x+3}+2\ge 0$$
   
   Положим $$y=2^{2x}$$, тогда $$y>0$$ и
   $$ 2^{2x+1}=2y,\qquad \left(\frac12\right)^{2x+3}=\frac{1}{8\cdot 2^{2x}}=\frac{1}{8y} $$
   Получаем:
   $$ 2y-\frac{21}{8y}+2\ge 0 $$
   Умножим на $$8y>0$$:
   $$ 16y^2+16y-21\ge 0 $$
   Найдём корни:
   $$ D=16^2-4\cdot16\cdot(-21)=256+1344=1600 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-16\pm40}{32} $$
   $$ y_1=-\frac74,\qquad y_2=\frac34 $$
   Тогда
   $$ 16\left(y+\frac74\right)\left(y-\frac34\right)\ge 0 $$
   С учётом $$y>0$$ остаётся:
   $$y\ge \frac34$$
   То есть
   $$ 2^{2x}\ge \frac34 $$
   $$ 2x\ge \log_2\frac34 $$
   $$ x\ge \frac12\log_2\frac34 $$
5. $$3^{4-3x}-35\left(\frac13\right)^{2-3x}+6\ge 0$$
   
   Преобразуем:
   $$ 3^{4-3x}-35\cdot 3^{3x-2}+6\ge 0 $$
   Положим $$y=3^{3x}$$, тогда $$y>0$$ и
   $$ 3^{4-3x}=\frac{81}{y},\qquad 3^{3x-2}=\frac{y}{9} $$
   Получаем:
   $$ \frac{81}{y}-35\cdot\frac{y}{9}+6\ge 0 $$
   Умножим на $$9y>0$$:
   $$ 729-35y^2+54y\ge 0 $$
   $$ 35y^2-54y-729\le 0 $$
   Найдём корни:
   $$ D=54^2+4\cdot35\cdot729=104976 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{54\pm324}{70} $$
   $$ y_1=-\frac{27}{7},\qquad y_2=\frac{27}{5} $$
   Тогда
   $$ 35\left(y+\frac{27}{7}\right)\left(y-\frac{27}{5}\right)\le 0 $$
   С учётом $$y>0$$ получаем:
   $$ 0<y\le \frac{27}{5} $$
   Значит,
   $$ 3^{3x}\le \frac{27}{5} $$
   $$ 3x\le \log_3\frac{27}{5} $$
   $$ 3x\le 3-\log_3 5 $$
   $$ x\le 1-\frac13\log_3 5 $$

Ответ

1) $$x\in(-6;0)$$;
2) $$x\in(-\infty;+\infty)$$;
3) $$x\in(-\infty;3)$$;
4) $$x\in\left[\frac12\log_2\frac34;+\infty\right)$$;
5) $$x\in\left(-\infty;1-\frac13\log_3 5\right]$$.