Упр.903 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

903. Решить неравенства:
     1) $$2{,}5^{1-x}>2{,}5^{-3x}$$;
     2) $$0{,}13^{x-4}\geq 0{,}13^{2-x}$$;
     3) $$\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}\leq\left(\frac{3}{4}\right)^{x-1}$$;
     4) $$3^{-4x}>\sqrt{3}$$.

1. $$2{,}5^{\,1-x} > 2{,}5^{-3x}$$
   
   Так как $$2{,}5>1,$$ сравниваем показатели:
   $$1-x>-3x$$
   $$2x>-1$$
   $$x>-0{,}5.$$
2. $$0{,}13^{\,x-4}\ge 0{,}13^{\,2-x}$$
   Так как $$0{,}13\in(0;1),$$ при сравнении показателей знак неравенства меняется:
   $$x-4\le 2-x$$
   $$2x\le 6$$
   $$x\le 3.$$
3. $$\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}\le \left(\frac{3}{4}\right)^{x-1}$$
   Преобразуем правую часть:
   $$\left(\frac{3}{4}\right)^{x-1}=\left(\frac{4}{3}\right)^{1-x}$$
   Тогда
   $$\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}\le \left(\frac{4}{3}\right)^{1-x}$$
   Так как $$\frac{4}{3}>1,$$ получаем:
   $$2x\le 1-x$$
   $$3x\le 1$$
   $$x\le \frac13.$$
4. $$3^{-4x}>\sqrt{3}$$
   Представим $$\sqrt{3}$$ как степень числа $$3$$:
   $$3^{-4x}>3^{1/2}$$
   Так как $$3>1,$$ сравниваем показатели:
   $$-4x>\frac12$$
   $$x<-\frac18.$$

Ответ

1) $$x\in(-0{,}5;+\infty)$$;
2) $$x\in(-\infty;3]$$;
3) $$x\in\left(-\infty;\frac13\right]$$;
4) $$x\in\left(-\infty;-\frac18\right)$$.