Упр.902 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все пары целых чисел $$x$$ и $$y$$, для которых верны три неравенства:

1. $$3y-x<5,\quad x+y>26,\quad 3x-2y<46$$;

   $$3y-5x>16,\quad 3y-x<44,\quad 3x-y>1$$.

1. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} 3y-x<5,\\ x+y>26,\\ 3x-2y<46. \end{cases}$$

   Из первых и третьего неравенств получаем:

   $$\begin{cases} 3y-x<5 \\ 3x-2y<46 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9y-3x<15 \\ 3x-2y<46 \end{cases}$$

   Складываем:

   $$7y<61,\qquad y<8\tfrac{5}{7}.$$

   Так как $$y$$ — целое число, то $$y\le 8$$.

   Из неравенств $$x+y>26$$ и $$3x-2y<46$$:

   $$\begin{cases} x+y>26 \\ 3x-2y<46 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x+3y>78 \\ -3x+2y>-46 \end{cases}$$

   Складываем:

   $$5y>32,\qquad y>6\tfrac{2}{5}.$$

   Следовательно, $$y=7$$ или $$y=8$$.

   Если $$y=7$$, то

   $$\begin{cases} 21-x<5,\\ x+7>26,\\ 3x-14<46 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>16,\\ x>19,\\ x<20 \end{cases}$$

   Получаем $$19<x<20$$, целых решений нет.

   Если $$y=8$$, то

   $$\begin{cases} 24-x<5,\\ x+8>26,\\ 3x-16<46 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>19,\\ x>18,\\ x<\dfrac{62}{3} \end{cases}$$

   Тогда $$19<x<\dfrac{62}{3}$$, откуда $$x=20$$.

2. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} 3y-5x>16,\\ 3y-x<44,\\ 3x-y>1. \end{cases}$$

   Из первых двух неравенств:

   $$\begin{cases} 3y-5x>16 \\ 3y-x<44 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y-5x>16 \\ -3y+x>-44 \end{cases}$$

   Складываем:

   $$-4x>-28,\qquad x<7.$$

   Из первого и третьего неравенств:

   $$\begin{cases} 3y-5x>16 \\ 3x-y>1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9y-15x>48 \\ 15x-5y>5 \end{cases}$$

   Складываем:

   $$4x>19,\qquad x>4{,}75.$$

   Значит, $$x=5$$ или $$x=6$$.

   Если $$x=5$$, то

   $$\begin{cases} 3y-25>16,\\ 3y-5<44,\\ 15-y>1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y>41,\\ 3y<49,\\ y<14 \end{cases}$$

   Получаем $$13\tfrac{2}{3}<y<16\tfrac{1}{3}$$ и $$y<14$$, целых решений нет.

   Если $$x=6$$, то

   $$\begin{cases} 3y-30>16,\\ 3y-6<44,\\ 18-y>1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y>46,\\ 3y<50,\\ y<17 \end{cases}$$

   Тогда $$15\tfrac{1}{3}<y<16\tfrac{2}{3}$$, значит $$y=16$$.

Ответ

1) $$x=20$$, $$y=8$$; 2) $$x=6$$, $$y=16$$.