Упр.900 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

При каком наибольшем целом значении $$x$$ выражение $$\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{x^2}-9x+14$$ принимает отрицательное значение?

Рассмотрим неравенство

$$\frac{\frac12 x^2+3}{x^2-9x+14}<0.$$

Числитель:

$$\frac12 x^2+3>0$$

при любом значении $$x$$, так как $$\frac12 x^2\ge 0$$ и $$3>0$$.

Значит, дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

$$x^2-9x+14<0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-9x+14=(x-2)(x-7).$$

Тогда

$$(x-2)(x-7)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$2<x<7.$$

Наибольшее целое значение $$x$$, удовлетворяющее этому неравенству, равно $$6$$.

Ответ

$$6$$