Упр.90 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) [-пи/4; пи/3];
2) (3пи/4; 3пи/2);
3) (0; пи);
4) [пи/4; 3пи/4].

1. При $$x \in \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\tg x$$ возрастает, значит множество значений найдём по значениям на концах промежутка:

   $$\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\qquad \tg\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=\left[-1;\sqrt{3}\right].$$

2. При $$x \in \left(\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}\right)$$ промежуток разбивается точкой разрыва $$x=\frac{\pi}{2}$$. На каждом из промежутков функция $$y=\tg x$$ возрастает.

   При $$x \to \frac{3\pi}{4}+0$$ имеем $$\tg x \to -1,$$ а при $$x \to \frac{\pi}{2}-0$$ значение $$\tg x \to +\infty.$$

   Значит,

   $$E(y)=(-1;+\infty).$$

3. При $$x \in (0;\pi)$$ функция $$y=\tg x$$ принимает все значения, кроме тех, которые соответствуют точке разрыва $$x=\frac{\pi}{2}$$. При этом

   $$\tg 0=0,\qquad \tg \pi=0,$$

   а на промежутках $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ значения функции пробегают все числа от $$0$$ до $$+\infty$$ и от $$-\infty$$ до $$0$$.

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

4. При $$x \in \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$$ точка $$x=\frac{\pi}{2}$$ не входит в промежуток, но является точкой разрыва функции.

   На отрезках $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция возрастает, причём

   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \tg\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1.$$

   Поэтому

   $$E(y)=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

Ответ

1) $$\left[-1;\sqrt{3}\right]$$; 2) $$(-1;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.