Упр.9 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sin 4x+\cos 4x$$
2. $$y=\sin 6x+\cos 6x$$

1. $$y=\sin^4 x+\cos^4 x$$

   $$y=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x$$
   $$=1-2\sin^2 x\cos^2 x$$
   $$=1-\frac12\sin^2 2x$$
   $$=1-\frac12\cdot\frac{1-\cos 4x}{2}$$
   $$=\frac34+\frac14\cos 4x$$

   Так как $$-1\le \cos 4x\le 1,$$ то
   $$\frac34-\frac14\le y\le \frac34+\frac14,$$
   то есть
   $$\frac12\le y\le 1.$$

2. $$y=\sin^6 x+\cos^6 x$$

   $$y=(\sin^2 x)^3+(\cos^2 x)^3$$
   $$=(\sin^2 x+\cos^2 x)\bigl(\sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x\bigr)$$
   $$=1-3\sin^2 x\cos^2 x$$
   $$=1-\frac34\sin^2 2x$$
   $$=1-\frac34\cdot\frac{1-\cos 4x}{2}$$
   $$=\frac58+\frac38\cos 4x.$$

   Так как $$-1\le \cos 4x\le 1,$$ то
   $$\frac58-\frac38\le y\le \frac58+\frac38,$$
   то есть
   $$\frac14\le y\le 1.$$

Ответ

1) $$E(y)=\left[\frac12;1\right]$$; 2) $$E(y)=\left[\frac14;1\right]$$.