Упр.898 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. При каком наименьшем целом значении $$m$$ уравнение $$(m-1)x^2-2(m+1)x+m-3=0$$ имеет два различных действительных корня?

Рассмотрим квадратное уравнение

$$(m-1)x^2-2(m+1)x+m-3=0.$$

Чтобы оно имело два различных действительных корня, нужно:

• $$m-1\ne 0,$$ то есть уравнение должно быть квадратным;
• $$D>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=[-2(m+1)]^2-4(m-1)(m-3).$$

Упростим:

$$D=4(m+1)^2-4(m-1)(m-3)$$

$$=4(m^2+2m+1)-4(m^2-4m+3)$$

$$=4m^2+8m+4-4m^2+16m-12$$

$$=24m-8.$$

Тогда

$$24m-8>0 \quad \Rightarrow \quad 24m>8 \quad \Rightarrow \quad m>\frac13.$$

Теперь учитываем, что уравнение должно быть квадратным:

$$m-1\ne 0 \quad \Rightarrow \quad m\ne 1.$$

Итак, нужно целое число $$m>\frac13$$, но не равное $$1$$. Наименьшее такое целое число — $$2$$.

Ответ

$$2$$