Упр.896 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Найти все значения $$a$$, для которых при всех значениях $$x$$ верно неравенство:
- $$\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}\leqslant a$$;
- $$\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}\geqslant a$$.
1) Рассмотрим функцию
$$f(x)=\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(16x-4)(4x^2-2x+1)-(8x^2-4x+3)(8x-2)}{(4x^2-2x+1)^2} =\frac{2-8x}{(4x^2-2x+1)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то
$$f'(x)\ge 0 \iff 2-8x\ge 0 \iff x\le \frac14.$$
Значит, функция возрастает при $$x\le \frac14$$, а наибольшее значение достигается при $$x=\frac14$$:
$$f\!\left(\frac14\right)=\frac{8\cdot \left(\frac14\right)^2-4\cdot \frac14+3}{4\cdot \left(\frac14\right)^2-2\cdot \frac14+1} =\frac{\frac12-1+3}{\frac14-\frac12+1} =\frac{\frac52}{\frac34} =\frac{10}{3}.$$
Чтобы неравенство $$\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}\le a$$ выполнялось при всех $$x$$, нужно и достаточно, чтобы $$a$$ было не меньше наибольшего значения функции:
$$a\ge \frac{10}{3}.$$
2) Рассмотрим функцию
$$g(x)=\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}.$$
Найдём производную:
$$g'(x)=\frac{(6x-4)(9x^2-12x+16)-(3x^2-4x+8)(18x-12)}{(9x^2-12x+16)^2} =\frac{32-48x}{(9x^2-12x+16)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то
$$g'(x)\ge 0 \iff 32-48x\ge 0 \iff x\le \frac23.$$
Следовательно, функция возрастает при $$x\le \frac23$$, а при $$x\to +\infty$$ имеет предел
$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16} =\frac{3}{9} =\frac13.$$
Значит, наибольшее возможное значение функции равно $$\frac13$$, и для выполнения неравенства $$\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}\ge a$$ при всех $$x$$ необходимо и достаточно, чтобы
$$a\le \frac13.$$
Ответ
1) $$a\ge \frac{10}{3}$$; 2) $$a\le \frac13$$.
