Упр.895 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

$$\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^3+6x^2+5x-12}>0$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2),$$

$$x^3+6x^2+5x-12=(x-1)(x^2+7x+12)=(x-1)(x+3)(x+4).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+3)(x+4)}>0.$$

Критические точки: $$x=-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,1,\,2.$$

Исследуем знак дроби на промежутках:

• $$(-\infty,-4)$$ — знак «+»;
• $$(-4,-3)$$ — знак «−»;
• $$(-3,-2)$$ — знак «+»;
• $$(-2,-1)$$ — знак «−»;
• $$(-1,1)$$ — знак «+»;
• $$(1,2)$$ — знак «−»;
• $$(2,+\infty)$$ — знак «+».

Так как требуется $$>0,$$ берём промежутки, где дробь положительна, не включая точки, в которых числитель равен нулю или знаменатель обращается в ноль.

Ответ

$$x\in(-\infty,-4)\cup(-3,-2)\cup(-1,1)\cup(2,+\infty).$$