Упр.895 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 895 x3+x2-4x-4/x3+6×2+5x-12 > 0.

Подробный ответ

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2),$$

$$x^3+6x^2+5x-12=(x-1)(x^2+7x+12)=(x-1)(x+3)(x+4).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+3)(x+4)}>0.$$

Критические точки: $$x=-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,1,\,2.$$

Исследуем знак дроби на промежутках:

$$(-\infty,-4)$$ — знак «+»;
$$(-4,-3)$$ — знак «−»;
$$(-3,-2)$$ — знак «+»;
$$(-2,-1)$$ — знак «−»;
$$(-1,1)$$ — знак «+»;
$$ (1,2) $$ — знак «−»;
$$ (2,+\infty) $$ — знак «+».

Так как требуется $$>0,$$ берём промежутки, где дробь положительна, не включая точки, в которых числитель равен нулю или знаменатель обращается в ноль.