Упр.894 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$|2x-3|
2. $$|4-x|>x$$
3. $$|x^2-7x+12|\leq 6$$
4. $$|x^2-3x-4|>6$$
5. $$|2x^2-x-1|\geq 5$$
6. $$|3x^2-x-4|<2$$

1. $$|2x-3|

   Тогда
   $$\begin{cases} 2x-3<x,\\ 2x-3>-x. \end{cases}$$
   Получаем
   $$\begin{cases} x>3,\\ 3x>3. \end{cases}$$
   Значит,
   $$x>1 \text{ и } x<3,$$
   откуда
   $$x\in(1;3).$$

2. $$|4-x|>x$$

   Рассмотрим два случая:
   $$\begin{cases} 4-x>x,\\ 4-x>-x. \end{cases}$$
   Из первого неравенства:
   $$4>2x,\quad x<2.$$
   Из второго:
   $$4>0,$$
   что верно при любом $$x$$.
   Следовательно,
   $$x<2,$$
   то есть
   $$x\in(-\infty;2).$$

3. $$|x^2-7x+12|\le 6$$

   Это равносильно системе:
   $$\begin{cases} x^2-7x+12\le 6,\\ x^2-7x+12\ge -6. \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} x^2-7x+6\le 0,\\ x^2-7x+18\ge 0. \end{cases}$$
   Второе неравенство верно при всех $$x$$, так как
   $$D=49-72=-23<0.$$
   Решаем первое:
   $$x^2-7x+6=(x-1)(x-6)\le 0,$$
   откуда
   $$x\in[1;6].$$

4. $$|x^2-3x-4|>6$$

   Тогда
   $$\begin{cases} x^2-3x-4>6,\\ x^2-3x-4<-6. \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} x^2-3x-10>0,\\ x^2-3x+2<0. \end{cases}$$
   Разложим на множители:
   $$\begin{cases} (x-5)(x+2)>0,\\ (x-1)(x-2)<0. \end{cases}$$
   Тогда
   $$x<-2 \text{ или } x>5,$$
   а также
   $$1<x<2.$$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;-2)\cup(1;2)\cup(5;+\infty).$$

5. $$|2x^2-x-1|\ge 5$$

   Это равносильно системе:
   $$\begin{cases} 2x^2-x-1\ge 5,\\ 2x^2-x-1\le -5. \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} 2x^2-x-6\ge 0,\\ 2x^2-x+4\le 0. \end{cases}$$
   Второе неравенство решений не имеет, так как
   $$D=1-32=-31<0.$$
   Решаем первое:
   $$2x^2-x-6=(2x+3)(x-2)\ge 0.$$
   Отсюда
   $$x\in(-\infty;-\tfrac32]\cup[2;+\infty).$$

6. $$|3x^2-x-4|<2$$

   Тогда
   $$\begin{cases} 3x^2-x-4<2,\\ 3x^2-x-4>-2. \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} 3x^2-x-6<0,\\ 3x^2-x-2>0. \end{cases}$$
   Решим первое неравенство:
   $$3x^2-x-6=0,$$
   $$D=1+72=73,$$
   $$x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{73}}{6}.$$
   Тогда
   $$\dfrac{1-\sqrt{73}}{6}<x<\dfrac{1+\sqrt{73}}{6}.$$
   Решим второе:
   $$3x^2-x-2=(3x+2)(x-1)>0,$$
   откуда
   $$x<-\dfrac23 \text{ или } x>1.$$
   Пересечение множеств:
   $$x\in\left(\dfrac{1-\sqrt{73}}{6};-\dfrac23\right)\cup\left(1;\dfrac{1+\sqrt{73}}{6}\right).$$

Ответ

1) $$x\in(1;3)$$;
2) $$x\in(-\infty;2)$$;
3) $$x\in[1;6]$$;
4) $$x\in(-\infty;-2)\cup(1;2)\cup(5;+\infty)$$;
5) $$x\in(-\infty;-\tfrac32]\cup[2;+\infty)$$;
6) $$x\in\left(\dfrac{1-\sqrt{73}}{6};-\dfrac23\right)\cup\left(1;\dfrac{1+\sqrt{73}}{6}\right)$$.