Упр.893 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$|x-1|(x^4-2x^2-3)\ge 0$$
2. $$|x^2-9|(x^4-2x^2-8)\le 0$$

1. $$|x-1|(x^4-2x^2-3)\ge 0$$

   Разложим многочлен:

   $$x^4-2x^2-3=(x^2-3)(x^2+1)=(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x^2+1).$$

   Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, то неравенство равносильно

   $$|x-1|(x^2-3)\ge 0.$$

   Произведение неотрицательно, когда $$x^2-3\ge 0$$ или когда один из множителей равен нулю:

   $$x^2-3\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -\sqrt3 \text{ или } x\ge \sqrt3,$$

   $$|x-1|=0 \;\Rightarrow\; x=1.$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;-\sqrt3]\cup\{1\}\cup[\sqrt3;+\infty).$$

2. $$|x^2-9|(x^4-2x^2-8)\le 0$$

   Разложим второй множитель:

   $$x^4-2x^2-8=(x^2-4)(x^2+2)=(x-2)(x+2)(x^2+2).$$

   Так как $$x^2+2>0$$ при любых $$x$$, получаем

   $$|x^2-9|(x^2-4)\le 0.$$

   Поскольку $$|x^2-9|\ge 0$$, произведение не положительно тогда и только тогда, когда

   $$x^2-4\le 0 \quad \text{или} \quad |x^2-9|=0.$$

   Отсюда

   $$x^2-4\le 0 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 2,$$

   $$|x^2-9|=0 \;\Rightarrow\; x^2-9=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 3.$$

   Итак,

   $$x\in[-2;2]\cup\{-3;3\}.$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-\sqrt3]\cup\{1\}\cup[\sqrt3;+\infty)$$

2) $$x\in[-2;2]\cup\{-3;3\}$$