Упр.891 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{3x-15}{x^2+5x-14}\geq 0$$
2. $$\frac{x-1}{x^2+4x+2}<0$$
3. $$\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x-3}>0$$
4. $$\frac{(x-5)\left(2^{\frac{1}{x}}-1+0{,}2\right)}{x+2}\leq 0$$

1. $$\frac{3x-15}{x^2+5x-14}\ge 0$$

   Разложим на множители:
   $$\frac{3(x-5)}{(x+7)(x-2)}\ge 0.$$
   Критические точки: $$x=-7,\;2,\;5.$$
   По знакам на промежутках получаем:
   $$x\in(-7;2)\cup[5;+\infty).$$

2. $$\frac{x-1}{x^2+4x+2}<0$$

   Найдём нули знаменателя:
   $$x^2+4x+2=0,$$
   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot 2=8,$$
   $$x_{1,2}=-2\pm\sqrt2.$$
   Тогда
   $$\frac{x-1}{(x+2-\sqrt2)(x+2+\sqrt2)}<0.$$ По знакам: $$x\in(-\infty;-2-\sqrt2)\cup(-2+\sqrt2;1).$$

3. $$\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x-3}>0$$

   Разложим на множители:
   $$\frac{(x+4)(x-2)}{(x-3)(x+1)}>0.$$
   Критические точки: $$x=-4,\,-1,\,2,\,3.$$
   По знакам на промежутках:
   $$x\in(-\infty;-4)\cup(-1;2)\cup(3;+\infty).$$

4. $$\frac{(x-5)\left(2^{\frac{1}{x-1}}+0{,}2\right)}{x+2}\le 0$$

   Так как
   $$2^{\frac{1}{x-1}}+0{,}2>0$$
   при всех допустимых $$x$$, то знак дроби определяется выражением
   $$\frac{x-5}{x+2}\le 0.$$
   Область определения: $$x\ne 1,\;x\ne -2.$$
   Решаем неравенство:
   $$x\in(-2;5].$$
   С учётом ограничения $$x\ne 1$$ получаем:
   $$x\in(-2;1)\cup(1;5].$$

Ответ

1) $$(-7;2)\cup[5;+\infty)$$;
2) $$(-\infty;-2-\sqrt2)\cup(-2+\sqrt2;1)$$;
3) $$(-\infty;-4)\cup(-1;2)\cup(3;+\infty)$$;
4) $$(-2;1)\cup(1;5]$$.