Упр.89 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Построить график и выяснить свойства функции:
   
   1) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$;
   
   2) $$y=\frac{\tg x}{2}$$;
   
   3) $$y=\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$;
   
   4) $$y=\ctg\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)$$.

1. $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

   Это график функции $$y=\tg x$$, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{4}$$.

   $$D(x)=\left\{x\mid x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\},\qquad E(y)=\mathbb R$$

   Период функции: $$T=\pi$$.

   Функция ни чётная, ни нечётная.

   $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\ \frac{\pi}{4}+\pi n\right)$$

   $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+\pi n;\ -\frac{\pi}{4}+\pi n\right)$$

   Функция возрастает на каждом промежутке
   $$\left(-\frac{3\pi}{4}+\pi n;\ \frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

2. $$y=\tg\frac{x}{2}$$

   Это график функции $$y=\tg x$$, растянутый вдоль оси $$x$$ в 2 раза.

   $$D(x)=\left\{x\mid x\ne \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\},\qquad E(y)=\mathbb R$$

   Период функции: $$T=2\pi$$.

   Функция нечётная.

   $$\tg\frac{x}{2}>0 \text{ при } x\in(2\pi n;\ \pi+2\pi n)$$

   $$\tg\frac{x}{2}<0 \text{ при } x\in(-\pi+2\pi n;\ 2\pi n)$$

   Функция возрастает на каждом промежутке
   $$(-\pi+2\pi n;\ \pi+2\pi n),\ n\in\mathbb Z.$$

3. $$y=\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$

   Это график функции $$y=\ctg x$$, сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{3}$$.

   $$D(x)=\left\{x\mid x\ne \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\},\qquad E(y)=\mathbb R$$

   Период функции: $$T=\pi$$.

   Функция ни чётная, ни нечётная.

   $$\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)>0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{5\pi}{6}+\pi n\right)$$

   $$\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)<0 \text{ при } x\in\left(\frac{5\pi}{6}+\pi n;\ \frac{4\pi}{3}+\pi n\right)$$

   Функция убывает на каждом промежутке
   $$\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{4\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

4. $$y=\ctg\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)$$

   Это постоянная функция:

   $$y=\ctg\left(\frac{7\pi}{12}\right) =\frac{\ctg\frac{\pi}{3}\cdot \ctg\frac{\pi}{4}-1}{\ctg\frac{\pi}{3}+\ctg\frac{\pi}{4}} =\frac{\frac{\sqrt3}{3}\cdot 1-1}{\frac{\sqrt3}{3}+1} =\frac{\sqrt3-3}{\sqrt3+3} =\sqrt3-2$$

   График — прямая, параллельная оси $$x$$:

   $$y=\sqrt3-2$$

   $$D(x)=\mathbb R,\qquad E(y)=\{\sqrt3-2\}$$

   Функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ

1) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$ — сдвиг графика $$y=\tg x$$ влево на $$\frac{\pi}{4}$$, $$D(x)=\mathbb R\setminus\left\{-\frac{\pi}{4}+\pi n\right\}$$, $$E(y)=\mathbb R$$, период $$\pi$$.
2) $$y=\tg\frac{x}{2}$$ — растяжение графика $$y=\tg x$$ вдоль оси $$x$$ в 2 раза, $$D(x)=\mathbb R\setminus\left\{\pi+2\pi n\right\}$$, $$E(y)=\mathbb R$$, период $$2\pi$$.
3) $$y=\ctg\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$ — сдвиг графика $$y=\ctg x$$ вправо на $$\frac{\pi}{3}$$, $$D(x)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{3}+\pi n\right\}$$, $$E(y)=\mathbb R$$, период $$\pi$$.
4) $$y=\ctg\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt3-2$$.