Упр.886 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ положительна дробь:

1. 1) $$\frac{5x-4}{7x+5}$$; 2) $$\frac{3x+10}{40-x}$$; 3) $$\frac{x+2}{5-4x}$$; 4) $$\frac{8-x}{6+3x}$$?

1. $$\frac{5x-4}{7x+5}>0$$
   
   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
   $$\begin{cases} 5x-4>0,\\ 7x+5>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 5x-4<0,\\ 7x+5<0 \end{cases}$$ Отсюда: $$x>\frac45 \quad \text{или} \quad x<-\frac57.$$
2. $$\frac{3x+10}{40-x}>0$$
   
   Перенесём знак в знаменателе:
   $$\frac{3x+10}{-(x-40)}>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{3x+10}{x-40}<0.$$ Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Критические точки: $$3x+10=0 \Rightarrow x=-\frac{10}{3}, \qquad x-40=0 \Rightarrow x=40.$$ Тогда $$x\in\left(-\frac{10}{3};\,40\right).$$
3. $$\frac{x+2}{5-4x}>0$$
   
   Преобразуем знаменатель:
   $$5-4x=-(4x-5),$$
   значит
   $$\frac{x+2}{4x-5}<0.$$ Критические точки: $$x+2=0 \Rightarrow x=-2, \qquad 4x-5=0 \Rightarrow x=\frac54.$$ Следовательно, $$x\in\left(-2;\,\frac54\right).$$
4. $$\frac{8-x}{6+3x}>0$$
   
   Запишем числитель и знаменатель в удобном виде:
   $$8-x=-(x-8), \qquad 6+3x=3(x+2).$$
   Тогда
   $$\frac{8-x}{6+3x}>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{x-8}{x+2}<0.$$ Критические точки: $$x=-2,\qquad x=8.$$ Получаем $$x\in(-2;\,8).$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\infty;\,-\frac57\right)\cup\left(\frac45;\,+\infty\right)$$

2) $$x\in\left(-\frac{10}{3};\,40\right)$$

3) $$x\in\left(-2;\,\frac54\right)$$

4) $$x\in(-2;\,8)$$