Упр.885 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$\sin8x+\cos8x=a$$ имеет корни, и решить это уравнение.

Преобразуем левую часть:

$$\sin^8 x+\cos^8 x=(\sin^4 x+\cos^4 x)^2-2\sin^4 x\cos^4 x.$$

Так как

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x,$$

то

$$\sin^8 x+\cos^8 x=(1-2\sin^2 x\cos^2 x)^2-2\sin^4 x\cos^4 x.$$

Положим $$y=\sin^2 2x$$. Тогда

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac14\sin^2 2x=\frac14y,$$

и уравнение принимает вид

$$\left(1-\frac12y\right)^2-\frac18y^2=a.$$

Раскроем скобки:

$$1-y+\frac14y^2-\frac18y^2=a,$$

$$\frac18y^2-y+1-a=0.$$

Умножим на $$8$$:

$$y^2-8y+8(1-a)=0.$$

Найдём корни:

$$D=64-32(1-a)=32(1+a),$$

$$y=\frac{8\pm\sqrt{32(1+a)}}{2}=4\pm2\sqrt{2(1+a)}.$$

Возвращаемся к $$y=\sin^2 2x$$:

$$\sin^2 2x=4\pm2\sqrt{2(1+a)}.$$

Так как

$$\sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2},$$

получаем

$$\frac{1-\cos 4x}{2}=4\pm2\sqrt{2(1+a)},$$

$$\cos 4x= -7\mp4\sqrt{2(1+a)}.$$

Чтобы уравнение имело корни, необходимо и достаточно, чтобы правая часть принадлежала отрезку $$[-1;1]$$. Это возможно только для значения

$$-1\le -7+4\sqrt{2(1+a)}\le 1.$$

Отсюда

$$6\le 4\sqrt{2(1+a)}\le 8,$$

$$\frac32\le \sqrt{2(1+a)}\le 2,$$

$$\frac94\le 2(1+a)\le 4,$$

$$\frac18\le a\le 1.$$

Тогда

$$\cos 4x=4\sqrt{2(1+a)}-7,$$

и общее решение:

$$4x=\pm\arccos\!\bigl(4\sqrt{2(1+a)}-7\bigr)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\pm\frac14\arccos\!\bigl(4\sqrt{2(1+a)}-7\bigr)+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\frac18\le a\le 1; \qquad x=\pm\frac14\arccos\!\bigl(4\sqrt{2(1+a)}-7\bigr)+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$