Упр.885 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 885. Найти все значения а, при которых уравнение sin8x + cos8x =a имеет корни, и решить это уравнение.

Преобразуем левую часть:

$$ \sin^8 x+\cos^8 x=(\sin^4 x+\cos^4 x)^2-2\sin^4 x\cos^4 x. $$

Так как

$$ \sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x, $$

то

$$ \sin^8 x+\cos^8 x=(1-2\sin^2 x\cos^2 x)^2-2\sin^4 x\cos^4 x. $$

Положим $$y=\sin^2 2x$$. Тогда

$$ \sin^2 x\cos^2 x=\frac14\sin^2 2x=\frac14y, $$

и уравнение принимает вид

$$ \left(1-\frac12y\right)^2-\frac18y^2=a. $$

Раскроем скобки:

$$ 1-y+\frac14y^2-\frac18y^2=a, $$

$$ \frac18y^2-y+1-a=0. $$

Умножим на $$8$$:

$$ y^2-8y+8(1-a)=0. $$

Найдём корни:

$$ D=64-32(1-a)=32(1+a), $$

$$ y=\frac{8\pm\sqrt{32(1+a)}}{2}=4\pm2\sqrt{2(1+a)}. $$

Возвращаемся к $$y=\sin^2 2x$$:

$$ \sin^2 2x=4\pm2\sqrt{2(1+a)}. $$

Так как

$$ \sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2}, $$

получаем

$$ \frac{1-\cos 4x}{2}=4\pm2\sqrt{2(1+a)}, $$

$$ \cos 4x= -7\mp4\sqrt{2(1+a)}. $$

Чтобы уравнение имело корни, необходимо и достаточно, чтобы правая часть принадлежала отрезку $$[-1;1]$$. Это возможно только для значения

$$ -1\le -7+4\sqrt{2(1+a)}\le 1. $$

Отсюда

$$ 6\le 4\sqrt{2(1+a)}\le 8, $$

$$ \frac32\le \sqrt{2(1+a)}\le 2, $$

$$ \frac94\le 2(1+a)\le 4, $$

$$ \frac18\le a\le 1. $$

Тогда

$$ \cos 4x=4\sqrt{2(1+a)}-7, $$

и общее решение:

$$ 4x=\pm\arccos\!\bigl(4\sqrt{2(1+a)}-7\bigr)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Следовательно,

$$ x=\pm\frac14\arccos\!\bigl(4\sqrt{2(1+a)}-7\bigr)+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

$$ \frac18\le a\le 1; \qquad x=\pm\frac14\arccos\!\bigl(4\sqrt{2(1+a)}-7\bigr)+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z. $$