Упр.884 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольший на интервале $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right)$$ корень уравнения $$\cos\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)+2\sin x\cos 2x=0$$.

Преобразуем уравнение:

$$\cos\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)+2\sin x\cos 2x=0.$$

Так как $$\cos\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin 5x,$$ то получаем

$$-\sin 5x+2\sin x\cos 2x=0.$$

Используем формулу произведения:

$$2\sin x\cos 2x=\sin(3x)-\sin x.$$

Тогда

$$-\sin 5x+\sin 3x-\sin x=0,$$

или

$$\sin 3x-\sin 5x-\sin x=0.$$

Сгруппируем первые два слагаемых:

$$\sin 3x-\sin 5x=2\cos 4x\sin(-x)=-2\sin x\cos 4x.$$

Тогда

$$-2\sin x\cos 4x-\sin x=0,$$

$$-\sin x(2\cos 4x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0$$

или

$$2\cos 4x+1=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

На интервале $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right)$$ подходит только $$x=0.$$

2) $$2\cos 4x+1=0 \Rightarrow \cos 4x=-\frac12.$$

Тогда

$$4x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}.$$

На интервале $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right)$$ из этих значений получаем $$x=\frac{\pi}{3}.$$

Сравниваем найденные корни: $$0$$ и $$\frac{\pi}{3}.$$ Наибольший из них — $$\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{3}$$