Упр.883 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все корни уравнения $$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2\frac{25\pi}{6}$$, удовлетворяющие неравенству $$\lg\left(x-\sqrt{2x+23}\right)>0$$.

Решим уравнение:

$$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2\frac{25\pi}{6}.$$

Так как

$$\sin\frac{25\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$

то

$$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac14.$$

Преобразуем:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$\sin^4 x+\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt2}\right)^4=\frac14,$$

$$4\sin^4 x+(\sin x+\cos x)^4=1.$$

Раскроем скобки:

$$4\sin^4 x+\sin^4 x+4\sin^3 x\cos x+6\sin^2 x\cos^2 x+4\sin x\cos^3 x+\cos^4 x=1,$$

$$5\sin^4 x+4\sin^3 x\cos x+6\sin^2 x\cos^2 x+4\sin x\cos^3 x+\cos^4 x=1.$$

Используем тождества $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и $$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x.$$ Тогда получаем:

$$4\sin^2 x+4\sin x\cos x=0,$$

$$4\sin x(\sin x+\cos x)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0.$$

Следовательно,

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь учтём неравенство:

$$\lg\left(x-\sqrt{2x+23}\right)>0.$$

Для логарифма нужно

$$x-\sqrt{2x+23}>1.$$

Тогда

$$\sqrt{2x+23}<x-1,$$

откуда обязательно $$x>1.$$ Возведём в квадрат:

$$2x+23<(x-1)^2,$$

$$2x+23<x^2-2x+1,$$

$$x^2-4x-22>0.$$

Корни квадратного трёхчлена:

$$D=16+88=104,$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{104}}{2}=2\pm\sqrt{26}.$$

С учётом условия $$x>1$$ получаем:

$$x>2+\sqrt{26}.$$

Из найденных решений уравнения этому условию удовлетворяют только значения

$$x=\pi n,\quad n\ge 3,$$

и

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\ge 3.$$

Ответ

$$x=\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\ge 3.$$