Упр.882 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все корни уравнения $$\cos x+(1+\cos x)\operatorname{tg}2x-1=0$$, удовлетворяющие неравенству $$\operatorname{tg}x>0$$.

Преобразуем уравнение:

$$\cos x + (1+\cos x)\tg^2 x — 1 = 0,$$

$$\cos x + (1+\cos x)\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — 1 = 0.$$

Умножим на $$\cos^2 x$$, учитывая, что $$\cos x \ne 0$$:

$$\cos^3 x + (1+\cos x)\sin^2 x — \cos^2 x = 0.$$

Подставим $$\sin^2 x = 1-\cos^2 x$$:

$$\cos^3 x + (1+\cos x)(1-\cos^2 x) — \cos^2 x = 0.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$\cos^3 x + 1 — \cos^2 x + \cos x — \cos^3 x — \cos^2 x = 0,$$

$$2\cos^2 x — \cos x — 1 = 0.$$

Обозначим $$t=\cos x$$. Тогда:

$$2t^2-t-1=0.$$

Найдём корни:

$$D = (-1)^2 — 4\cdot 2 \cdot (-1) = 9,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac12.$$

Значит,

$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

1) Если $$\cos x=1,$$ то $$x=2\pi n,$$ и тогда $$\tg x=0,$$ что не подходит.

2) Если $$\cos x=-\frac12,$$ то

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Проверим условие $$\tg x>0$$. Подходит только

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi(2n+1), \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{3}+(2n+1)\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.$$