Упр.881 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) sin3x — 2cos2x — 1/1-sinx = |sinx|.

Подробный ответ

$$\frac{2\sin x}{\cos x-\cos 3x}-\frac13=4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$
Используем формулы:
$$\cos x-\cos 3x=-2\sin 2x\sin(-x)=2\sin 2x\sin x,$$
$$4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=4\cdot\frac{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}=2-2\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=2+2\sin 2x.$$
Тогда
$$\frac{2\sin x}{2\sin 2x\sin x}-\frac13=2+2\sin 2x,$$
$$\frac1{\sin 2x}-\frac13=2+2\sin 2x.$$
Обозначим $$y=\sin 2x$$, тогда
$$\frac1y-\frac13=2+2y.$$
Умножим на $$3y$$:
$$3-y=6y+6y^2,$$
$$6y^2+7y-3=0.$$
$$D=7^2+4\cdot 6\cdot 3=121,$$
$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}.$$
Получаем:
$$y_1=-\frac32 \quad \text{(не подходит)}, \qquad y_2=\frac13.$$
Значит,
$$\sin 2x=\frac13,$$
откуда
$$2x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,$$
$$x=\frac12\left((-1)^n\arcsin\frac13+\pi n\right), \quad n\in\mathbb Z.$$
$$\frac{\sin 3x-2\cos 2x-1}{1-\sin x}=|\sin x|.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$\sin x\ge 0$$, то $$|\sin x|=\sin x$$. Тогда
$$\frac{\sin 3x-2\cos 2x-1}{1-\sin x}=\sin x.$$
После преобразований:
$$4\sin^2 x-4\sin^3 x-3+\sin x=0,$$
$$\left(4\sin^2 x-3\right)(1-\sin x)=0.$$
Так как $$1-\sin x\ne 0$$, получаем
$$4\sin^2 x-3=0,$$
$$\sin x=\frac{\sqrt3}{2} \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ остаётся
$$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$
2) Если $$\sin x\le 0$$, то $$|\sin x|=-\sin x$$. Тогда
$$\frac{\sin 3x-2\cos 2x-1}{1-\sin x}=-\sin x.$$
После преобразований:
$$4\sin^2 x+\sin x-3=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=1+48=49,$$
$$\sin x_1=\frac{-1-7}{8}=-1,\qquad \sin x_2=\frac{-1+7}{8}=\frac34.$$
С учётом условия $$\sin x\le 0$$ подходит только
$$\sin x=-1.$$
Тогда
$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
При этом область определения задаётся условием
$$1-\sin x\ne 0,$$
то есть $$\sin x\ne 1$$, что выполнено.